初中数学以错纠错案例

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“以错纠错”的案例分析

文／罗增儒

在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．

一、出示案例

我们先引述3处典型做法．

1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近（2001年5月）又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来（见原文例4）：

例1若（3an＋4bn）＝8，（6an－bn）＝1，求（3an＋bn）．

学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：

由

（3an＋4bn）＝8，

（6an－bn）＝1．

得

3an＋4bn＝8，①

6an-bn＝1．②

①×2－②，可得

bn＝15／9，

并求得an＝4／9．

∴（3an＋bn）＝3an＋bn＝12／9＋15／9＝3．

这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若an＝A，bn＝B，则才有（an＋bn）＝an＋bn＝A＋B．反之不真，而由（3an＋bn）＝8，

（6an－bn）＝1，

不一定保证an与bn存在．比如

an＝4／3＋（1／3）n2，bn＝1－（1／4）n2，

则有（3an＋4bn）＝8，

但是an与bn均不存在极限．

正解：（3an＋bn）＝（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）

＝8／3＋1／3＝3．

某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．

要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．（引文完）

2.数学通报1999年第11期（P．43）文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子（本文记为例2）：

例2已知（2an＋3bn）＝5，（an－bn）＝2，求（an＋bn）．

当时有位学生提出这样一种解法：

解：设an＝A，bn＝B，则由题设可知

（2an＋3bn）＝2an＋3bn＝2A＋3B＝5，①

（аn－bn）＝an－bn＝A－B＝2．②

联立①，②解得

A＝11／5，B＝1／5．

∴（an＋bn）＝an＋bn＝A＋B＝11／5＋1／5＝12／5．

对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题：an和bn一定存在吗?

随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断an和bn是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．

另解：设an＋bn＝x（2an＋3bn）＋y（an－bn）（其中x，y为待定的系数），则

an＋bn＝（2x＋y）an＋（3x－y）bn，

从而有

2x＋y＝1，

3x－y＝1．

解之得x＝2／5，y＝1／5．

∴an＋bn＝（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn），

∴（an＋bn）＝［（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn）］＝（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．

这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．（引文完）

3.江苏省常州高级中学（是一所有90年历史的江南名校）数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析（高中）》，其第6章题30如下（见文［7］P．342，本文记为例3）：

例3已知（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，求（2an＋bn）之值．

误解：∵（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，

∴

2an＋3bn＝7，①

3an－2bn＝4．②

①×2＋②×3，得

13an＝26，

∴an＝2．

代入式①，得

bn＝1．

∴（2an＋bn）＝2an＋bn＝2×2＋1＝5．

正确解法：设m（2an＋3bn）＋p（3an－2bn）＝k（2an＋bn）．

其中m，p，k均为待定的整数，则比较an，bn的系数得

2m＋3p＝2k，①

3m－2p＝k．②

由式①、②消去k，得

2m＋3p＝2（3m－2p）＝6m－4p，

∴4m＝7p．

当m，p分别取7和4时，k＝13．

∴2an＋bn＝（7／13）（2an＋3bn）＋（4／13）（3an－2bn）．

∴（2an＋bn）＝（7／13）（2an＋3bn）＋（4／13）（3an－2bn）＝7／13×7＋4／13×4＝5．

错因分析与解题指导：已知（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，并不意味着an、bn存在，在误解中利用数列极限的运算法则：（an±bn）＝an±bn，默认an与bn存在，这是错误的．要求（2an＋bn），就必须将2an＋bn去用（2an＋3bn）与（3an－2bn）表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然m、p的值不是惟一的，但是对不同的m、p之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完）

以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师（包括评委）的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．

虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不能判断an和bn是否存在吗?”回答是否定的．教师的“纠错”比学生错得更多．

二、案例分析

我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．

1.学生解法的认识

学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．

缺点是默认了an与bn的存在；也不会整体使用极限运算法则，这可以从3个方面来分析．

（1）知识性错误

表现在：没有验证an与bn极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了an与bn极限的存在性；还不会变通使用（如借用待定系数法）极限运算法则．

（2）逻辑性错误

表现为逻辑上的“不能推出”：跳过an与bn极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到．

（3）心理性错误

表现为“潜在假设”，默认an与bn极限的存在性，既未想到要证明，更未给出证明．

由于在已知条件下，an与bn的极限确实存在，所以，学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤．

这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动．其“对而不全”的解法，正是学生对该数学问题的一种“替代观念”，是建构活动的一个产物，既有一定的合理性，又需要完善．接下来的反审活动，有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控．

2.教师认为“不一定保证an与bn存在”是不对的

事实上，在已知条件下，用待定系数法不仅可以求（3an＋bn），而且可以求（αan＋βbn），取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不过是一种更简单的特殊情况．我们来给出一个更一般的结论．

命题1若（α1an＋β1bn）＝c1，（α2an＋β2bn）＝c2，

则当a1β2－α2β1≠0时，两个极限an与bn均存在，且

an＝c1β2－c2β1／α1β2－α2β1，bn＝α1c2－α2c1／α1β2－α2β1．

证明：设

an＝x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）

＝（α1x＋α2y）an＋（β1x＋β2y）bn，

令

α1x＋α2y＝1，

β1x＋β2y＝0．

解得x＝β2／（α1β2－α2β1），y＝－β1／（α1β2－α2β1）．

从而

［x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）］

＝x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）

＝xc1＋yc2＝（c1β2－c2β1）／（α1β2－α2β1）．

即an＝（c1β2－c2β1）／（α1β2－α2β1）．

同理可确定bn极限的存在性，并计算出

bn＝（α1c2－α2c1）／（α1β2－α2β1）．

（1）取α1＝3，β1＝4，c1＝8，α2＝6，β2＝－1，c2＝1，可得an＝4／9，bn＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出

an＝［（1／27）（3an＋4bn）＋（4／27）（6an－bn）］

＝（1／27）（3an＋4bn）＋（4／27）（6an－bn）＝8／27＋4／27＝4／9．

bn＝［（2／9）（3an＋4bn）－（1／9）（6an－bn）］

＝（2／9）（3an＋4bn）－（1／9）（6an－bn）＝16／9－1／9＝5／3．

（2）取α1＝2，β1＝3，c1＝5，α2＝1，β2＝－1，c2＝2，这便得例2，有

an＝（1／5）（2an＋3bn）＋（3／5）（an－bn）

＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，

bn＝（1／5）（2an＋3bn）－（2／5）（an－bn）

＝1／5×5－2／5×2＝1／5．

（3）取α1＝2，β1＝3，c1＝7，α2＝3，β2＝－2，c2＝4，这便得例3，确实有an＝2，bn＝1．

应该说，求an、bn与求（αan＋βbn）道理是一样的，为什么会有这么多的教师长期坚持“an、bn不一定存在”呢?这除有知识、逻辑因素外，而对多数人来说，恐怕还有一个“人云亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误．我们说，失去自信比缺少知识更为可怕．

3.反例“an＝4／3＋n2／3，bn＝1－n2／4”的错误根源

上面已经严格证明了an与bn的存在性（以α1β2－α2β1≠0为前提），因而文［2］作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该找出错误的原因，弄清错误的性质．

（1）检验可以发现错误

把an＝4／3＋n2／3，bn＝1－n2／4代入已知条件，有

（3an＋4bn）＝8＝8．

但（6an－bn）＝（7＋9／4n2）

不存在，更不等于1．

所以，文［2］的反例并不能成为反例．其之所以成为反例，是作者根据不充分的前提（来验证第2个条件）得出的，逻辑上犯有“不能推出”的错误．

（2）误举反例的原因分析

①首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时，主要依据“若an、bn存在，则（an＋bn）＝an＋bn，反之不真（思维定势）”．这对只有一个条件是成立的；据此找出的反例也只验证第1个条件，而不验证第2个条件，这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移．

②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：

命题2若（α1an＋β1bn）＝c1，（α2an＋β2bn）＝c2．

则有

（i）当α1β2－α2β1≠0时，an、bn均存在；

（ii）当α1β2－α2β1＝0且α1c2－α2c1＝0时，则an，bn的极限不一定存在．（文［2］的反例适用这一情况）

（iii）当α1β2－α2β1＝0且α1c2－α2c1≠0，则an，bn的极限均不存在．

这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用．

对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为主要还是知识原因，由于教师没有看透题目的数学实质，从而也没有看透学生的错误性质，所进行的大段文字分析缺少数学针对性．所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平是一个永无止境的课题．

4.试作一个探究性的教学设计

本文“以错纠错”的例子，持续了10年以上的时间，发表在多家刊物上，还出现在文［6］正确纠正之后，这对读者、编者和作者都有很多教训，也错过了一个培养学生创新精神的机会．我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提出一个教学设计，分为7步．

（1）提出问题，暴露学生的真实思想．

其过程是给出例1（或例2、例3等，还可以根据命题2编拟3种类型的例题），让学生得出不完整的解法．

（2）反思，引发认知冲突．

教师与学生一起检查每一步的依据，发现使用极限运算法则需要an、bn的存在性做前提．前提存在吗?有两种可能：或举一个反例来否定，或给出一个证明来肯定．

（3）分两大组自主探索，自我反省．

按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五人，让学生在学习共同体中自主探索，教师巡回指导，这将是一个十分生动的过程．

（4）得出an、bn的求法．

这样，学生的求解就完整了．可以分成三步：

①求an＝…＝4／9；

②求bn＝…＝15／9；

③求（3an＋bn）＝…＝3．

（5）进行解题分析，得出改进解法．

引导学生认识到：

①求an、bn所使用的方法也可以直接用到求（3an＋bn）上来．

②先分别求an、bn，再合并得结论（3an＋bn）有思维回路：

（3an＋4bn）（合）

an

（分）

（6an－bn）（合）

bn

（3an＋bn）．（合）

删除中间步骤，可得

（3an＋bn）＝［（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）］

＝（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）＝8／3＋1／3＝3．

（6）探索一般性．

①考虑例1的结论一般化改为，求（αan＋βbn）；

②考虑条件、结论均一般化，让学生发现命题1（α1β2－α2β1≠0）；

③再加一个层次，允许α1β2－α2β1＝0，让学生再发现命题2．

（7）运用建构主义和元认知的观点（不出现名词）进行总结．

参考文献

1罗增儒．解题分析——谈错例剖析．中学数学教学参考，1999，12

2赵春祥．思维定势在解题中的消极影响举例．中学教研（数学），1990，6

3赵春祥．从整体结构上解数列题．教学月刊·中学理科版，1998，10

4赵春祥．数列与数列极限中应注意的几个问题．教学月刊·中学理科版，1999，6

5赵春祥．思维定势消极作用例说．中学数学研究（广州），2001，5

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7杨浩清主编．数学题误解分析（高中）．南京：东南大学出版社，1996

8唐宗保．浅谈线性组合在中学数学解题中的运用．数学通讯，1996，10

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10屈瑞东．数列极限运算易错两例．数理天地，1999，11

11童其林．例谈待定系数法在解题中的应用．考试，2000，4

12唐宗保．常见非等价变形的成因分析．数学通讯，2001，9