数学数学学习和迁移

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数学有效教学的重要指标，是学生的数学学习能否从一个问题迁移到另一个问题，从一个情境迁移到另一个情境，从学校课堂迁移到社会生活中。

数学学习过程和数学学习迁移存在密切关系，是直接影响人的能力形成的重要因素。

迁移通常理解为，把在一个情境中学到的东西迁移到新情境中的能力。

研究表明，学习经验与迁移能力并不是正相关的。有些学习经验会导致强记忆弱迁移和强记忆负迁移，而另一些却能诱发强记忆强迁移和强记忆正迁移[1]。

早期学习迁移研究理论强调学习条件和迁移条件之间的相似性，取决于两者基本要素的匹配程度，而基本要素被界定为具体事实和技能。对任务间共同要素的强调，意味着对学习者个性的忽视，比如对包括关注的时机、相关原理的外推、问题解决或创造力以及动机等这些个性的忽视，而把学习的重点放在练习和训练上。

本文探究对数学教育具有重要意义的数学学习和迁移的关键特征。

一、促进初始学习是成功迁移的首要因素

新的学习理论研究表明，影响成功迁移的第一个因素可能是最初对数学知识的掌握程度[1]。

那么如何进行数学的初始学习，来促进数学学习的成功迁移呢？

1.注重理解而不是记忆

初始学习不达到一定理解水平，迁移是不会发生的。这是显而易见但又经常容易被忽略的事实。刚学完某个新知识就急于去做难题，就属于这个范畴。这两个结论对教学而言非常重要，这正是我国中小学普遍存在的问题，常常新授课刚结束，就要求学生解难题，不仅课后作业是难题，而且课堂练习中就开始出现难题，有的题甚至就是升学考试的试题。学生难题解不了，只好用强行记忆来弥补，强记忆弱迁移和强记忆负迁移在所难免。这种现象的结果是被迫机械学习，能力无法提高也就是必然的事情了。

迁移受学习的理解性程度的影响，而非仅靠记忆事实或墨守成规。迁移不能发生的原因在于，对新知识的理解没有达到一定水平，而仅仅靠记忆。在新知识的初学阶段，其意义的建构和获得还没有真正完成，按照有意义学习理论，新旧意义之间的联系有一个继续同化的过程。在这个过程中，一方面是对意义联系理解的深化和贯通，另一方面是这种联系需要一定程度的巩固和强化，只有当这两方面达到一定的水平，有意义迁移才可能开始。

2.投入足够的学习时间

数学是一门复杂学科，学习复杂学科需要更多的时间，即使看起来像天才，然而其个人为了拓展数学专业知识和提高数学理解水平也需要投入大量的时间和精力。

新的学习理论明确提出，成功的学习需要时间的大量投入[1]。即使美国人现在也开始认识到，在他们的中小学教育中，要求学生学习投入的时间过少了。但是学习时间和精力的“大量投入”，并不是一味地投入到训练记忆中，而是把主要时间投入到反思和理解中。成功的学习需要大量的时间，主要原因是要达到理解的水平需要时间。其有两方面的含义，一是为了深化和贯通新旧意义的联系，需要一定的时间去摸索与主题相关的具体信息；二是为了使得所获得的学习经验达到相当水平的知悉程度，需要一定的时间来深化和强化这些联系。不同的学生所需要的时间也不同，教师必须对此有充分的认识和思想准备。

学生对一个新的数学对象的初始学习，常常会遇到意义不够明晰和逻辑联系比较隐蔽的材料，一开始就要他们从事理解性学习是有困难的，他们需要时间去探究基本概念，生成与自己已有信息的联系。一下子接触太多的远离主题的内容会妨碍学生对新知识意义的建构和随后的迁移，因为他们缺乏足够的具体信息使这些原则变得有意义，因为他们对远离主题的知识同自己已有知识之间的承袭关系和逻辑联系不能接受，因此学生只能当作孤立的、没有联系的事实去学习那些远离主题的内容。

为学生提供先摸索与主题相关的具体信息（先行组织者）的机会显得至关重要，这就是在最初创立一个“时机”，让学生能够充分知悉、了解、回忆或激活相关信息，使新知识的主题从这些相关的信息中自然流淌出来。研究表明，有这样的时机要比没有这些机会的学生的学习更加有效。

为学生提供这样的时机，包括创设适当情境帮助学生搜索信息、提取信息、加工信息；也包括提供足够的信息处理时间，学习不能操之过急，信息整合是一个复杂的认识活动，需要足够的时间。

3.利用变式把握关键特征

适当安排一些反例能帮助学生注意先前没有注意的新特征，了解哪些特征与某些特定概念相关或无关。恰当的反例不仅可用于知觉学习，还可以用于概念学习。对何时、何地和如何运用所学知识的理解，即知识条件化，可通过“反例”的运用而增强。

数学学习中，学生很容易犯非本质属性泛化的错误，这是非本质属性负迁移的结果[2]。作为克服这类负迁移的一种有效方法，教学中常常运用反例或辨析题制造认知冲突，以帮助学生把握数学对象的本质属性。利用反例、辨析题、变式题进行教学都属于变式教学的范畴。反例的特点是改变对象本质属性而保持非本质属性不变，辨析题的特点是改变对象的非本质属性而保持本质属性不变，安排变式学习能够帮助学生把原先所没有注意的非本质属性和本质属性的区别加以澄清，从而尽可能避免非本质属性泛化的错误。变式题的运用在于提高解题学习中迁移能力的培养，这在我国的数学教学中是常用的方法。

二、影响迁移的其他因素

1.学习的情境

成功的迁移受到初始学习情境的影响，学生有可能在一种情境中学习，但却不能迁移到其他情境中去。实现成功的迁移，取决于知识与情境以怎样的关系相连，取决于初始学习是如何获得知识的。

一个数学对象在单一而非复合情境中学习时，情境间的迁移往往相当困难。当学生用学习情境中材料的细节，即过于具体的无关信息，来详细解释新材料时，知识尤其容易受情境制约。

当学生在复合情境中抽象出一个数学对象概念的特征时，更可能形成弹性的知识表征。复合的情境指学习情境是趋于本源化、多样化、综合化、真实化、情节化的，概念的特征隐藏在众多干扰因素之中，使得学生必须经过由表及里、去粗取精、去伪存真的过程，才能抽取到对象的本质，建构起对象的意义，这样不仅获得了对象的本质特征，而且在“舍弃”的过程中了解对象的非本质特征，认识本质属性与非本质属性之间的联系，从而同时把握对象的本质的和非本质的方面，达到从整体上认识对象意义的作用。这样形成的将是具有弹性的适应性的认识。

但是过度情境化对知识的理解有弊无利。过度情境化是指情境尽管可能真实，但情节过于复杂具体甚至无关，或者涉及因素过手琐碎而缺少综合性。在这种情境中学习，常常造成学生所学知识的弹性缺失，仍然无法把学到的知识灵活地迁移到新的情境。

让学生解决具体的案例，以及相似的其他案例，目的是帮助他们抽象出导致弹性迁移的一般原理。这是一种多到一的概括和一到多的迁移。实现这样的概括和迁移，要求提供的刺激材料尽可能的丰富，并能充分突出主题或本质特征。

另一个比较有效的办法，是让学生加入到为提高弹性理解而设计的“如果—怎么办”类的问题解决当中。概括案例，要求学生创造一种不仅能解决单一的问题而且能够解决整个相关类群问题的方法。

关于对付弹性缺失的3种方法，实际上是提供了提高弹性理解的3种“情境”。迁移弹性的缺失，根本上是学习缺乏“想象力”的结果。迁移本身就是一种“想象”的体现，没有对不同事物间关系的想象，谈何知识或策略的“迁移”？

“如果—怎么办”类型的问题解决本身，更是地地道道的“想象”的问题，没有对“如果”可能引出东西的“想象”，如何能找到“怎么办”？“概括案例”也同样离不开“想象”，没有“想象”，哪来“抽象”；没有“抽象”，又何有“概括”？人失去了想象，知识就会变成教条，智慧就会趋于枯竭。培根说：知识就是力量。爱因斯坦补充说：想象比知识更重要。知识是由想象创造出来的，知识又是由想象激发活化的；知识是由想象推动发展的，知识又是由想象带向无限的。目前我国大多与教育有关的活动中，最普遍的问题就是缺乏对受教育者想象力的培养，刻板僵化的模式，长官意志的管理，教条化的理念，受教育者不仅缺少想象的空间，甚至连想象的时间也没有。

2.问题的表征

通过教学帮助学生在更高的抽象层面上表征问题，也可以提高数学迁移能力。

帮助学生在更一般的层面表征所要解决问题，能增加正向迁移的可能性，减少先前解决问题中策略应用不当的负向迁移影响。让学生在更一般的层面上掌握数学解决问题的策略，就是引导学生学习从问题的原始状态开始，从无到有地实现问题的解决。这是培养和提高学生解决数学新问题能力的有效途径。

“在更一般的层面上表征解决问题”[1]的策略，应该包括表征问题和表征解决问题两个方面的策略。表征问题的策略，应该是指对问题性质、特征和意义做出概括性的理解，着重搞清楚“是什么类型问题”；表征解决问题的策略则是指对解决问题过程中所使用的策略进行抽取、提炼和概括，并且对问题情境、问题条件与问题策略的关系和联系进行概括和提取。

学习和运用这两种策略，可以促进对问题本质的认识和理解，达到在更一般的层面上，即从整体上、宏观上认识和把握问题及解决问题。这是“问题模式识别”的特征识别模式，实际上这是形成一种问题原理，这种问题原理由于具有很高的概括性而大大增强了它的正迁移性，从而反过来促进和加强解决新问题的能力。

学生如果仅仅受到具体问题解题训练而没有触及问题原理，他们虽然也可能很好地完成具体任务，但无法把学到的知识迁移应用到新的问题。接受抽象表征训练的学生则可以将知识迁移到具有类比关系的新问题上。

什么是“问题原理”？就是“在更一般层面上掌握表征问题的策略”。如果没有对某个“问题原理”的概念，就不可能把某个问题纳入这个问题原理的范畴。数学中应该有多种问题原理，所谓“抽象表征”或者“抽象层面的表征”，就是把问题的认识上升到“问题原理”的水平，才可能在解决新问题的时候，把新问题纳入某个问题原理的范畴来解决。所谓“学解题就是学解一类题”，也就是要把学解的题上升为问题原理，这样学会的就不是具体的一个题，而是属于一个问题原理范畴的题[3]。

3.学习与迁移条件的关系

迁移体现了学习内容和测试内容之间的一种函数关系。迁移量是在原来学习领域和新领域之间重叠部分的函数。这个重叠部分就是：知识是如何表征的，是如何形成跨领域概念对应的。

知识与任务之间的迁移随它们所共有的认知要素多少的程度而变化。认知表征和策略就属于随任务的不同而变化的“认知要素”。重叠部分就是指“共有认知要素”。认知表征和认知策略被看作“认知要素”。且不同的学习任务有不同的认知要素。但是如何识别不同任务间的“共有的认知要素”，这仍然主要取决于对前面问题表征一段所述的“问题原理”的掌握。同时，这为后面所给出的建立和形成共同的抽象结构的方法提供了依据。

研究表明，大量的迁移发生在表层结构大相径庭但却具有共同的抽象结构的对象之间[1]。当不仅要思考陈述性知识而且要考虑程序性知识时。众多领域的数学能力的迁移常常受同一原理的支配。比如通常所说的受某种数学思想的支配，就是受同一原理的支配。函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、极限的思想等，都是具有抽象结构的原理。来自于新的学习科学的研究表明，迁移大量地发生在具有共同抽象结构的对象之间，因此，要实现迁移无疑要建立和形成这样的共同抽象结构。

帮助学生超越具体情境和例证，在抽象层面表征经验是形成共同抽象结构表征的十分有效的方法。这也是解题反思的原理所在。即在反思的过程中，“超越”“具体情境和例证”，在“抽象层面”上表征“经验”，而不是“停留”在“具体层面”上，也就是不断地提高认识水平，不能始终停留在“低层次”认识水平上。这样，“经验”才可能得到提升，不断地从“具体经验”上升为“抽象经验”，直至上升为“原理”。

抽象表征并不是保存事件的孤立特点或例证，而是建构包含相关情境和事件成分的更大的图式。例如，包括类比推理在内的图式就能够对复杂思维做出重要的指引：“成功的类比迁移，能导致运用原来解决问题的一般图式去解决后继的问题。”这是形成抽象表征的另一种方法。“更大的图式”即是“认知模块”或“解题知识块”。

按照皮亚杰的意思，“图式”包含一定的活动结构，是行动的结构和组织，具有概括性的特点，可以从一种情境迁移到另一种情境。图式是在同一活动中各种运用的重复中保持共同认知要素的组织和结构。图式的种类逐渐增加，其内容也变得更加丰富，从简单的图式到复杂的图式，从内部的行为图式达到内心的思维模式，从无逻辑的图式到逻辑的图式，逐渐形成复杂的认知系统，形成庞大的认知结构。一个人拥有的图式越多，他所能同化的事物越多，范围就越大。实际也就是迁移的范围就越大。

类比推理是数学学习成功迁移的一个有效途径，而类比推理主要是运用在整体上有某种联系或相似的对象之间，所谓“共同的认知要素”也是在整体意义上的，不是视觉对象的相同而是“认知要素”相同，是指意义上的、理解上的、策略上的、原理上的，或者说是间接的而不是直接的。

抽象表征是通过多次观察不同事件的异同而建立起来的。这是形成抽象表征的又一种方法。

具有抽象结构的图式提高了记忆的提取和迁移能力，因为具有抽象结构的图式源自于更大范围的相关例证而非单一的学习经验。“抽象表征”的建立，就是为了把千差万别、千变万化的不同事件既区分又统一起来。通过对许许多多“个别”的异同的分析，概括出“一般”的原理来。“多次观察不同事件的异同”。在这方面就能达到很好的效果，数学作为抽象的思想材料更是如此。

首先是通过“多次”观察找出不同对象的“所有的”相同和不同之处，没有多次观察往往会遗漏某相同点和不同点，而被遗漏的相同点和不同点，往往是不容易被注意的又恰恰是重要的“关键点”，关键点总是深藏在最不容易被注意的隐蔽的深处。其次是，对相同点的比较、对不同点比较以及对相同点与不同点之间的比较都要进行多次观察，才可能识别其中的“共同认知要素”，共同认知要素未必只从相同点中反映出来，较多的情况是在正反两方面的比较中，更容易把“共同认知要素”识别出来。

4.迁移与元认知

迁移实质上是一个要求学习者积极参与选择和评估策略、思考资源和接受反馈的过程，也就是把迁移看成一个动态的过程。这种积极的动态迁移观有别于静态迁移观。静态迁移观就是认为初始学习后学生即具有解决迁移问题的能力。

较理想的迁移是不需要有任何提示，个人就能自发地迁移合适的知识。但是提示有时是必要的，提示能够极大地促进迁移。

“迁移量取决于学习或迁移时的注意指向”[1]。“注意谁”对迁移量有决定性作用，是否能识别出“共同的认知要素”，取决于“注意指向”。这正是专家知识的第一特征：能识别新手所注意不到的关键信息的信息特征。“注意指向”可能包括两方面，一是“应该注意情境中的什么对象”，二是“需要具有对信息特征的敏感”。“应该注意情境中的什么对象”，取决于对问题情境的观察、问题信息的提取、问题性质的辨析、问题原理的洞悉、问题类型的归属等多方面的认知因素。教学的观察中的确能够发现，学习中不同的人“注意指向”确有不同，这往往是产生学习差异的第一环节。学习迁移有困难的学生往往对学习材料不能抓住重点对象，不能关注重点内容，不能提取关键信息，不能把握细节与整体，不能洞察核心思想。

分级提示是帮助不同学生提高迁移水平的灵验办法。有些学生在接受一般性提示，如：“你能否想起曾经做过与此相关的事？”迁移便能发生。其他学生却需要有更加具体的提示。教学实际中，有的学生接受元认知提示就行了，有的学生需要更具体的接近目标的“认知提示”，乃至“直接提示”。分级提示应该说是教学中一种更有效的启发方法。在启发性教学中，以分级提问的方式来进行元认知提问效果更好。提问的分级可以根据接近目标的程度决定，提问从抽象到具体，从元认知到认知，所体现的迁移能力是由高水平到低水平的[4]。

教学上采用元认知提示的方法，能促进学生把知识迁移到新情境中，而无需借助明显的提示。教学中运用元认知提示的方法需要有前提，就是教学必须建立在探索和理解之上，只有以探索方式、建构以理解为目标的教学才可能需要元认知，记忆、模仿、复制、机械训练，这些都是无须元认知的。

那么，什么是“教学上的元认知提示的方法”？一是新知识的教学中用于启发的元认知提示语；二是解题学习中用于理解题意、探索解法的元认知提示语；三是用于课堂教学对话的元认知提示语。之所以强调以探索的方式教学，是为了强调“从无到有”的教学过程和教学思想，是为了教会学生如何“从无到有”地思考，是为了教学生学会如何“从无到有”地学习。以探索的方式教学，并非一定要有探究式教学中，也可以在讲授式教学中进行[4]。

元认知提示策略有助于学习沿着确定目标，生成新观点，提炼和细述已有观点，寻找观念的衔接，思考与反思活动的途径进行。当教师淡出时，学生能够向自己发问自我调节问题。最终是学生要学会使用元认知提示语，当教师淡出时，学生会用元认知提示语引导自己，经过长期使用，使之变为一种潜意识，即在思考问题时，无意识地、自动地运用元认知提示语引导自己的思考。就是让学生自己学习掌握运用元认知提示语，自觉进行元认知活动。

三、原有经验影响数学学习的迁移

“所有的学习都涉及到原有经验的迁移。”[1]这一原理对包括数学教学在内的所有教育实践都具有重要的意义。需要引起注意的是，有些已有经验会产生不易觉察的导致学生学习的负迁移影响。由于学习涉及到先前经验的迁移，所以一个人现有知识也能成为学习新信息的障碍。

对年龄不大的学生来说，早期的数学概念会左右他们学习数学时的注意力和思维。比如，大多数学生在学习算术时都形成了这样的观点：数字的基础是计算原理。数字是一连串要数(shǔ)的东西，加法就是把两堆东西“合二为一”。这样的认识在学校教育的初期很见效。然而，一旦学生接触有理数，他们的这种想法会对他们学习数学新知识产生不利的影响。因为学生无法通过数物生成一个分数，于是早期的数字知识成为后来学习分数的潜在障碍，对许多学生来说确实如此。

可见用“数物”方法学习算术四则运算并不是一个好方法，外国人长期依赖这种方法学习算术，其结果是“数物”成了他们丢不掉的“拐棍”。但是我们的小学数学现在把这种教学方法当作一个宝，甚至到了初中在很多场合还要用这种方法。殊不知数学的每一个内容的学习都要有不同程度抽象层次的提升，没有这种提升，数学水平停滞不前，数学思维水平也停滞不前。这个实例反映的不是缺少教育教学理念，而是缺少对数学学习的起码认识。

但是在初中，用一个整式除以另一个整式来定义分式，则是简单的模仿“分数”概念的建立。分数的定义方法是为了适应初学的幼儿几乎没有什么数学概念的特点，而到了初中再停留在这样的水平就不合适了。分数的定义是一种形式定义，把分式定义为“分母含有未知数的代数表达式”，表面上是“形式定义”，实际上是一种实质性定义。根本在于能反映代数的本质——未知数作为除数参加除法这个代数运算，分式就把未知数参加到除法运算里这个代数的本质特征反映出来了。

实际上，分数作为数的一种符号形式，对分式概念的引入比有潜在意义：一个整数除以另一个整数并不总能除得尽，于是就要引入一种表示“商”的准确值的符号——分数。即，除不尽——干脆把除号改记为分式线，把整个除式的形式地放在那里作为商，这个形式就代表了一个数值。到了代数里，分数的这种形式化思想就可以类比迁移进来，把表示未知数的字母形式的保留在运算式中，于是产生单项式、多项式；整式、分式；幂、根式；方程、不等式等[4]。

四、结束语

数学教学的一个主要目标是为使学生能够灵活地适应新的问题和情境。

学习情境是促进迁移的一个重要方面。仅在单一的情境中接受的知识与在多样化情境中学到的。知识相比更不利于弹性迁移。在多样化的情境中，学生更有可能抽象概念的相关特征，发展更加弹性的知识表征。问题的抽象表征也有利于迁移。

运用元认知提示和分级提示的教学方法可以帮助学生增进理解和迁移。

所有的新学习都涉及迁移。先前的知识可能帮助或妨碍新信息的理解。

【参考文献】

[1]［美］约翰·布兰斯福特.人是如何学习的——大脑、心理、经验及学校[M].上海：华东师范大学出版社，2003

[2]涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006

[3]涂荣豹.数学解题的有意义学习[J].数学教育学报，2002,11(4):16～20

[4]涂荣豹.提高对数学教学的认识[J].中学数学教学参考，2006,(1):5～8