小学数学教材结构
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教材结构问题可以说从有教材时就提出了。人们对教材结构的研究是随着教材的发展不断深入的。早期的小学算术教材基本上是按照成人学习算术的顺序，采取直线前进的编排方式。后来人们逐渐认识到，按照成人的学习顺序编排教材，学生学习起来有一定的困难，教学内容的编排应该与儿童的年龄阶段相适应，于是就出现了圆周式（或称螺旋式）的编排方式。
随着学习心理学研究的不断发展，出现了许多新的教育思想，推动了小学数学教材的变革。20世纪初，杜威的儿童中心论，强调教育应该从儿童的兴趣出发，课程应该心理化。随后有人倡导“单元教学”，即把算术内容分别组织在各个生活单元之内。这种教育与心理相结合的编排，比较适合儿童的年龄特点，对以后的小学教育改革有很大影响，但不足的是不能使学生获得系统的算术知识。以后，有人提出“程序教学”的思想，即把教材的内容分解成一个一个的小步子，让学生根据自己的实际情况，采取适当的进度。这种思想，对学生的学习过程进行了比较深入的研究，对以后的学习过程的研究也有很大启示。但由于学生的差异很大，因而程序教学不能使大多数学生达到基本的教学要求，教材的编写也比较繁琐。
针对上述教材改革的经验和教训，60年代兴起了教育现代化运动（简称：新数运动），一些教育家、心理学家提出要注重理解学科的基本结构。在这种思想的影响下，小学数学教材改为主要按数学的逻辑顺序来编排。由于这种编排过多地强调了数学的逻辑顺序，忽视了儿童的年龄特征和认知规律，给教学带来了很大困难。“新数运动”后，各国都在探索教育改革的新路。80年代后期，各国都相继提出了教育改革的新方案。这些方案不是对“新数运动”的简单否定，而是在过去改革的基础上，努力克服以往的缺点，使之更适合儿童学习的特点。
二、教材结构内涵的研究
什么是教材结构？不同的历史时期有不同的认识，目前还没有完善的定义。比较有代表性的观点主要有以下几种。
1．教材结构要反映学科的知识结构
这种观点的代表人物是美国的心理学家布鲁纳。按他的说法，一门学科的知识结构，就是学科的基本概念、基本原理、基本方法以及它们之间的相互联系。他认为：懂得基本原理可以使得学科更容易理解；懂得基本原理、观念有助于长期记忆，就是在部分知识遗忘的时候，也能得以重新构建起来；领会基本的原理和观念，是通向适当的“训练迁移”的大道；领会结构能够缩小“高级”和“初级”知识之间的差距。他的这些观点的主要意思就是，学生懂得了学科的基本结构，就可以理解和掌握整个学科的基本内容，并能够促进迁移。基于以上观点，他提出了一个假设：“任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的儿童。”这一思想不仅对当时“新数”教材有很大影响，就是在现在美国的小学数学教材以及其他一些国家的教材中仍有它的影响。
2．教材结构就是教材的组成部分和编写形式
叶立群先生认为“教材的结构指的是教材有哪几部分，哪几种形式组成的。”另外，王策三先生在《教学论稿》谈到教学大纲和教科书的结构时，认为教科书一般由目录、本文、作业、图表与附录构成，这种观点侧重于教材的编写体例。
3．从学科内容和儿童年龄特征两方面综合构建教材
周玉仁先生在《小学数学教学论》中谈到教材体系和结构时，指出：“小学数学教材结构是在综合考虑数学本身的逻辑规律以及小学生认识规律和心理发展水平的前提下，用数学的基本概念、基本规律、基本事实和基本方法联系起来的整体。这个整体不是知识、原则的罗列和拼凑，也不是各部分数学知识的简单求和，而是一个上下贯通、纵横交叉、紧密联系的知识网络。”再如，曹飞羽先生认为“一个学科的教材结构必须是能反映这个学科的各要素、各成份（包括知识、技能、智能、思想观点等）之间合乎规律的组织形式。……它的组织形式必须考虑学生的认知心理特点和认知的方法，便于使学科的知识结构转化为学生的认知结构。”
在教材结构的这几种观点中，笔者比较倾向于第三种。因为它既考虑了学科知识本身的联系，又考虑了学科知识与学生认知规律的结合。如果一个教材结构把这些问题都处理得很好，就可以使学生比较容易地形成一个学科知识的认知结构。
三、建立合理教材结构的几点认识
从前面的简单回顾可以看到，小学数学教材的结构经历了一个曲折的发展过程。变革的中心问题，都是如何看待和处理数学的逻辑顺序和学生的心理发展顺序的关系。对于这个问题，笔者想谈几点学习体会。
1．应认真研究每部分知识的特点，以及它对培养能力的作用
数学知识的每一部分都有自己的特点和对某些能力培养的优势，只有对此有比较明确的认识和理解，才能较好地发挥它们的作用。在这方面我们已经有丰富的实践经验，但还需要认真总结提炼，把经验性的内容上升到理论高度，以此指导教材的编写工作。
2．应深入研究学生学习数学的特点和规律
学生学习数学的规律有共性，这从大多数国家编写的教材就能反映出来。但是每个国家的学生都有自己的特点，所以每个国家的教材都有自己的特色和特性。因此我们在研究学生学习数学的特点和规律时，不能总是引用外国心理学家的理论。这是因为任何研究都是受时间、地点、条件的制约的，人的认识也因此受到制约。学生年龄特征和认识规律在总体上是由低向高发展的。但在具体年龄段的划分上有很大的差异。且随着社会的发展，人类的进步，学生的年龄特征也不是一成不变的。所以我们要根据我国的政治、经济、科学技术和社会环境等具体情况进行研究，按照我国学生学习数学的特点和规律来编写数学教材。否则，老走别人的老路，就不可能编出有中国特色的教材。
3．要精心设计教材结构
教材结构的建立必须经过大量研究，认真策划，教材的每一部分都必须精心设计。教材与一般的书不同，它的每一部分都应该经得起反复推敲。否则，教材就会显得深一脚浅一脚，这个矛盾不解决很难提高教材编写的质量。
4．应注意数学知识的内在联系
一个合理的教材结构，其知识间纵横联系必然是比较紧密的，搭配是合理的。如果不能做到这一点，教材结构就不太合理。如义务教材在纵横联系方面就有不足。第三册教材基本上是表内乘、除法，加减法和其他内容很少，而第四册教材基本上是加减法。这种搭配就不能说合理。学生在一学期接触的总是类似的知识，对激发学生的学习兴趣不利。
四、我国教材的结构及其特点
要研究教材结构，除了研究外国的教材外，还应对本国的教材有所认识，下面介绍一下我国小学数学教材的结构及特点。
小学数学的主要教学内容包括：数与计算、量的计量、几何、代数、统计知识等几部分知识。
1．数的认识
数的认识小学阶段主要教学整数、分数、小数及其相关的一些知识。在整数方面根据我国的计数特点和低中年级学生的学习特点，分五个阶段：“20以内”、“100以内”、“万以内”、“亿以内”、“亿以上”。分数、小数各分两段：先初步认识，再系统教学。初步认识一般安排在三年级，在学生有了一定的整数基础时教学，并且先教学分数再教学小数。系统学习一般安排在四、五年级，先教学小数，再教学分数。这主要是考虑到，分数的书写形式和运算法则跟整数都不一样，并且需要有整除的知识作为基础，学生接受起来比较困难。小数和整数都是十进制，小数的写法和运算法则与整数的基本相同，学生接受起来比较容易，因此先教学分数后教学小数。由于前面已经安排了分数的初步认识，为小数的教学作好了准备，所以这样编排既符合儿童的学习规律，又不违背数学的逻辑顺序。
2．计算
小学数学计算教学的主要内容是：整数、分数、小数的四则计算。计算的编排是配合着数的认识进行的，数的认识每扩展一次，就配合有相应的计算。例如，整数的认识分为五段，每一段都安排有计算的相关内容。在“20以内”学习一位数加法和相应的减法；在“100以内”重点学习两位数加减法，在“万以内”重点学习三、四位数的加、减法和乘数、除数是一位数、两位数的乘、除法。在“亿以内”，重点学习乘数、除数是三位数的乘、除法，四则运算中各部分间的关系，以及一些简便算法。在“亿以上”，重点教学自然数和整数的概念，十进制计数法，整数四则运算的意义，运算定律等。
计算内容的编排有这样几个特点。
（1）加强算理的教学。通过操作直观加强算理教学，如，教学一位数除两、三位数时，一方面从已学的口算引入，帮助理解笔算除法的过程，另一方面结合直观，说明每次除的顺序和商的书写位置，使学生更深刻地理解竖式计算中每一步的含义。
（2）注意各种计算方法的适当配合。小学数学主要教学：口算、笔算、珠算、估算、简算几种计算方法。这几种方法都是密切联系着的，具有相辅相成的作用。其中口算不仅是笔算的基础，也是学习估算和简便算法的基础。因此把一般它安排在每种运算教学的开始，在此基础上教学笔算。掌握一定的笔算之后，又有助于口算能力的提高。珠算具有一定的直观性，可以帮助学生加深对数位、相同数位对齐、进位、退位的理解，一般把它安排在加、减法笔算之前。估算安排在笔算之后教学，可以提高学生检验笔算的能力。同时在估算时，又要用到一些口算，又有助于提高口算能力。简便算法对一般的口算和笔算方法来说，属于特殊情况，需要根据某些运算定律采取特殊的计算方法。简便运算需要一定的口算和笔算基础，因此放在每种运算最后教学。教材就是根据各种计算方法之间的内在联系，把它们合理地加以安排，使其相互配合。
3．量与计量
小学数学中量与计量的主要内容有：长度单位、重量单位、时间单位、面积和体积单位。这些计量单位的进率不完全相同，且有些计量单位比较抽象，而学生在这方面的感性认识比较贫乏。因此，这方面的内容采取分散编排的原则。
（1）由具体到抽象编排。在上面的几种计量单位中，长度单位、重量单位比较直观具体，学生在日常生活中接触得比较多，掌握起来比较容易，所以先进行教学。而时间单位比较抽象，看不见，摸不着，难以用比较形象具体的事物表现出来，且进率又是60进制。所以后进行教学，让学生在积累了一些量与计量的学习经验基础上来学习，这样编排比较符合儿童的学习特点。
（2）注意与认数、计算和几何知识的配合。由于学习计量知识需要有数与形的知识作基础，因此编排时，教材注意与相关知识的配合。如，米和厘米安排在100以内数的循环圈内，毫米、分米、千米安排在万以内数的循环圈内。而面积、体积单位与几何图形的面积、体积计算联系紧密，所以安排在几何知识的教学中。
4．几何知识
几何知识从一年级起有计划地分散在各册教学，主要分三个阶段。
（1）初步认识。这一阶段，一方面出现一些常见的几何形体，把它们作为教具帮助学生认数和理解计算法则。另一方面教学一些几何形体的初步认识，如，长方形、正方形、三角形、圆；长方体、正方形、圆柱、球。通过直观操作活动，使学生初步认识这些图形的特点，并能够区分它们。
（2）平面图形特征的认识。这一阶段，是在前面初步认识的基础上进一步认识图形的特征，并教学相应的周长和面积的计算。如，长方形、正方形的认识，一年级已初步认识，到这一阶段，就要进一步认识它们的特征：它们都有四条边，都是对边相等；正方形的四条边都相等；它们都有四个角，每个角都是直角。并教学它们的周长和面积。
（3）立体图形的认识。这一阶段主要教学一些立体图形的特征和相应的表面积、体积计算。
5．代数知识
小学数学的代数知识一般都是在算术知识基本结束，在比、比例知识之前进行代数初步知识的教学。分三个阶段。
（1）渗透孕伏阶段。从一年级开始通过安排一些用括号或其他符号表示数的练习，如，出现3＋□＝9，16－□＝8，6×（）＝30等算式。这里的□和（）都代表一个具体的数。这种练习形式多次重复出现后，学生对用符号表示数就比较容易理解了。
（2）用字母表示数阶段。这一阶段先结合加法和乘法的运算定律以及几何图形的面积、体积计算，教学用字母表示运算定律和计算公式，使学生体会到用字母表示数量关系比较简明的优越性。然后再正式教学用字母表示数，使学生知道用字母表示数的意义和作用。
（3）简易方程阶段。这一阶段先结合四则运算各部分间的关系，出现求未知数x，列出含有未知数的等式解简单应用题。在此基础上再正式教学简易方程。
6．统计知识
统计知识教材是采取分散与集中相结合的方式编排，并注意与计算、应用题的联系。为了加强对统计思想和方法的认识，提高学生运用统计方法解决简单的实际问题的能力，义务教材在编排上，做了两点改革。
（1）把求平均数作为一种统计思想方法进行介绍，不再作为一种应用题。
（2）统计初步知识分散编排。在低年级渗透了一些简单的统计图表，中年级教学简单的数据整理和简单的求平均数的方法，高年级教学数据的收集和整理、统计表和较复杂的求平均数的方法，以及较复杂的统计表和统计图。
五、对教材内容及其结构进一步的研究与思考
虽然我们的教材改革取得到一定的成绩，但是随着时代的发展，科学技术的进步，教材中已有一些内容和方法不太适应社会发展的需要，因此我们的教材结构应贴近时代要求。在教材结构方面，笔者认为以下几个问题仍然值得进一步探讨。
教材结构体现时代特点的问题随着科学技术的空前发展，国力竞争的增强，社会对教育提出了新的要求，要求培养出具有创新意识、创新能力和具有实践能力的人才。小学数学作为义务教育的一门主要学科，应该对此作出及时的反映，小学数学教材结构应反映出时代特点。
（1）估算问题。
随着先进而简单的计算工具的广泛使用，社会生活对笔算技能的要求降低了。同时由于需要处理大量的、变化的信息，对口算、估算能力的要求提高了。但是目前我们的教材，估算仅作为选学内容，且呈现的形式比较单调，没能体现出对学生估算能力培养的完整意图。因此，要加强估算，应首先把它作为正式的必学的内容确定下来，并且渗透到各个年级。不仅有计算的内容要安排相应的估算，而且还要配合几何、量的计量、应用题等内容进行。要把估算作为一种非常重要的思想方法来培养，使学生学会用估算的方法去观察问题解决问题。
（2）引进计算器的问题。
随着计算器在日常生活和工作中的逐步普及，在小学数学中引入计算器已逐渐受到人们的关注。计算器的使用，可以代替机械性的计算，使学生把时间和精力转移到理解数学、探讨数学和应用数学上去。因此，可以考虑在适当的年级（如中、高年级）引入计算器，允许学生在验算、面积和体积计算以及统计数据等时使用，以节省教学时间，提高正确率及学生的学习兴趣。
（3）加强统计知识的问题。
我们已经步入信息时代，大量信息需要我们去收集、整理、进行分析并得出结论。统计的思想、方法在各方面的应用日益广泛。应该把这些思想、方法变成学生分析问题、解决问题的自觉行动，要达到这一目的，需要比较长的时间进行渗透、教学。因此，我们应该把统计知识分散在各年级教学，从一年级开始结合数的认识、计算、几何知识等内容教学。并且还要加强实际活动，提出一些符合学生日常生活实际的问题，让学生寻找条件，收集数据，进行整理、筛选出有用的数据，选取合适的条件来解决这些问题。这样既可以提高学生的学习兴趣，又可以培养学生将实际问题转化成数学问题并加以解决的能力。
（4）应用题改革的问题
应用题在我国小学数学中是份量比较重的一个内容，经过多年的经验积累，已形成了自己独特的教学体系，它的改革是比较困难的。笔者认为：我国的应用题教学，在培养学生思维能力方面还是有其独到的作用，但在培养学生运用数学知识解决简单的实际问题的能力方面还比较薄弱，可以借鉴一些“解决问题”的思想，从培养学生解题策略方面进行适当的改革，使应用题的教学更符合儿童的生活实际，这样既可以提高学习兴趣，又有助于培养学生将实际问题转化为数学问题并加以解决的能力。
2．小学数学教学内容的分段问题
数学概念的发展是一个不断反映现实世界数量关系和空间形式的矛盾和不断解决这些矛盾的过程，儿童的认知发展也是一个由浅入深经历多种水平或阶段的渐近过程。因此安排小学数学教学内容时，应根据各部分内容的分量、难易的程度以及学生的年龄特点适当划分阶段。如，分数的概念比较难建立，需要在不同层次上有适当的重复。目前教材一般都是分两段编排：先初步认识，再系统教学。这种编排比较符合数学的逻辑顺序，在整数知识的基础上教学分数，不仅使学生看到了数的扩展，而且掌握起来也比一开始就学容易。但不足的是由于分段较少，两段内容的差异较大，且相距的时间较长，给学生的理解和记忆造成了一定困难。因此，分数教学的分段还有待于进一步研究。在研究时，一方面要注意各阶段应有不同的重点，要循序渐进，逐步提高；另一方面也要注意防止把知识分得过细，或出现不必要的重复。这一原则不但适用于分数，也适用于其他的内容。
3．教材与教学过程的关系问题
教材是为教学服务的，教材的编写应该考虑教学的实际需要。教材应不应该体现教学过程？从目前我国的师资水平考虑还是应该有所体现。这样既可以减轻教师的备课负担，又可以为教师提供课堂教学的基本模式，虽然这样编排可能显得比较死板，但对教师把握教学要求还是有帮助的，同时也不限制好教师的正常发挥。因此，在考虑教材的编排时，要认真研究各部分知识的教学过程。
4．与其他学科的联系与配合问题
数学作为工具性学科，一方面要注意适应别的学科的需要，如，学习常识、地理需要用到一些计量，数学要在不增加学生负担的前提下，尽量提前安排。另一方面，数学需要其他学科的知识做基础。如，应用题的学习，需要学生有一定的识字和阅读能力，因此在安排应用题时，除了要考虑应用题本身的系统和难易外，还要考虑到语文学习的进度，要在语文课给学生打下初步的识字、阅读基础之后，再安排应用题。
5．联系实际的问题
将数学知识和实际联系起来，可以使学生正确认识数学乃至科学发展的道路。目前，我们的教材在反映生活实际，培养学生应用数学的意识方面，与时代要求还有距离，需要进一步改革。要改变这种现状，一方面要注意新知识从现实生活问题引入，使学生借助这些有实际背景的问题，加深对所学的数学知识的认识和理解。另一方面，数学作为一门工具性学科，还应安排一些联系实际的习题和实践作业，以培养学生解决实际问题的能力，使学生在将数学应用于实践的过程中，创新意识和创新能力得到逐步培养。
参考文献：
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《小学数学教材教法》中央电化教育馆卫星电视教育教材办公室主编北京师范大学出版社1986年第1版
《小学数学教学指导书》曹侠陈宏伯周玉仁主编人民教育出版社1988年第1版
《知识经济时代与小学数学教育改革》张卫国《小学数学教育》1999年第1、2、3期
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