利玛窦和非欧几何传播

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摘要：明朝末年，利玛窦来中国通过翻译《几何原本》传入了欧氏几何，同时，其也通过各种活动传入了当时流行于欧洲的非欧氏几何。这些几何知识主要有圆锥曲线、平行正投影、球极投影、画法几何和透视法等。这些几何知识的传入，更加丰富了我国当时的数学研究，也更直接有力地促进了我国科学技术的发展。

关键词：利玛窦；非欧氏几何；圆锥曲线；球极投影；画法几何

众所周知，明朝末年意大利传教士利玛窦（MatteoRicci,1552－1610）来到中国，通过和著名学者徐光启共同翻译《几何原本》，给我国带来了流行于欧洲近两千年的欧氏几何，改善了我国数学研究的状况，推动了我国数学的发展。其实，利玛窦在中国传教近三十年，通过各种科技活动，也传入了大量的《几何原本》之外的几何——现在一般泛称之为非欧氏几何。这些几何知识的传入，在当时不仅极大地丰富了我国几何研究的内容，而且也有力地促进了我国关于天文学、地理学和绘画艺术等的研究，直接推动了我国科学技术的发展。可是，这一问题至今没有多少人注意到，还没有人对其进行过深入的研究。由此本文拟就这个问题做一探讨。

一、圆锥曲线的传入

圆锥曲线是古希腊数学家和天文学家的一项重要发现。其自从被发现以来饱受人们的赞誉，在中世纪之前其就被广泛地应用到很多领域。因而，当时的欧洲学者几乎都了解这种曲线，都熟悉一些它们的性质。利玛窦来到中国，其实最早传入的几何就是此项内容。

据载，利玛窦于1583年来到中国大陆，不久即获准在广东传教。可是，起初国人并不认可这个长相古怪的“家伙”以及他宣扬的“异端学说”。于是，利玛窦开始转变策略，曲线传教，给国人展示一些西方的新奇物品，以期达到吸引国人的目的。1584年4月，在利玛窦给国人展示了一幅其从意大利带来的世界地图。这幅地图非常精美，顿时吸引了不少人来观看，特别是一些高级知识分子，如当时肇庆的知俯王泮等。王泮看过之后，非常喜欢，遂请利玛窦给他另绘制一幅。利玛窦不敢不受命，于是立即动工，于同年11月份就取得成功，这就是有名的“山海舆地图”。〔1〕这幅地图后来流传很广，由此利玛窦的声名也大了起来。1601年利玛窦面圣来到北京，不久就结识了当时著名的官员李之藻。李之藻也是个地图绘制爱好者。他二十岁的时候曾自己搜集资料，亲自绘制过一幅全国地图。〔2〕李之藻看过了利玛窦的世界地图之后，对于其绘制的精美和精确感到异常惊讶，于是开始跟利玛窦学习西方科技知识。1602年，李之藻首先学会了绘制世界地图，遂即将利玛窦绘制的“山海舆地图”放大，然后进行了重新印刷，这就是著名的“坤舆万国全图”。这幅地图目前还能看到，也有很多人对此进行了深入的研究。经过研究，发现其最初的底本来自罗马，采用的是当时欧洲比较流行的投影画法——椭圆投影（ovalprojection）〔3〕。椭圆投影有什么特点呢？我们研究发现，其最大的特点就是将整个地球表面的投影图绘制成了一个标准的椭圆。〔4〕同时，我们对“坤舆万国全图”进行研究，也发现其周边的确是一个标准的椭圆形。椭圆在中国古代没人研究，更没有人应用。所以，这里的使用是最早的一例，它完全得益于利玛窦的工作。

1596年11月，利玛窦在南昌的时候，收到了他在罗马学院时期的老师克拉维乌斯（C.Clavius,1538－1612）神父于1593年出版的新书《论星盘》（Astrolabium）。此后，为了吸引国人，其常拿这本书来讲解西方知识。〔5〕特别是当遇到一些比较聪明的中国学者的时候。李之藻人称“江南才子”，徐光启说他“卓荦通人”，所以，当他遇到利玛窦的时候，也从利玛窦那里受到了这方面的恩惠。不仅如此，很有可能李之藻还通读了全书，因为于1605年左右，李之藻写了一本叫《浑盖通宪图说》的书，就是对上述书的节译。节译内容还不在该书前面，全是后面的内容。而《论星盘》是一本什么样的书呢？其主旨虽然是介绍星盘制作的，但是在阐述的时候，却运用了大量的数学知识。其最后的星盘的具体做法，都是在圆锥曲线知识的基础上一步步严格推理出来的。〔6〕由此，其包含了大量的圆锥曲线的内容。利玛窦既然给李之藻讲授了此书，所以，其也肯定传授给李之藻了圆锥曲线的知识。

还有，在1608年李之藻又写成了《圆容较义》一书。此书的序言中讲：“昔从利公研穷天体，因论圆容，拈出一义，次为五界十八题。”〔7〕可见此书直接来源于利玛窦。此书分为十八个命题，分别讲述了多边形的面积问题、锥体的体积问题、圆内接多边形和外切多边形问题、球内切多面体问题等等。这些都是当时徐光启翻译的《几何原本》中没有的内容。此书的第十八题证明了“凡浑圆形与圆外角形等周者，浑圆形必大于圆角形。”即“表面积一定的球和旋转体相比，前者体积大”。为了更好的证明这个命题，李之藻给出了一个图形，如图一所示。由此看见，其使用了椭圆。〔7〕另外，在此书中，其还多次提到阿基米德（Archimedes,BC287－BC212）的《圜书》，借用了其中的命题结论。而阿基米德的《圜书》是一本讨论圆的面积和体积的书，里面也包含了椭圆面积的求法。由此我们也可以看出，李之藻学习过了椭圆知识。

所以，利玛窦来到中国也带来了圆锥曲线内容，还传给了国人。

二、利玛窦传入了平行正投影

上面提到，1602年李之藻放大翻刻了利玛窦的世界地图。此地图和原来的相比，一是面积大了，二是增加了若干小的图形。〔8〕在这些小的图形中，有一幅如图二所示，在大图的左下角。另外其还就此附了一段文字：“右图乃黃赤二道错行中气之界限也。凡算太阳出入皆准此。其法以中橫线为地平，直线天顶，中圈为地体，外大圈为周天。以周天分三百六十度。假如是图在京师地方，北极出地平线上四十度，则赤道离天顶南亦四十度矣。然后自赤道数起，南北各以二十三度半为界，最南为冬至，最北为夏至。凡太阳所行不出此界之外，既定冬、夏至界，即可求十二宮之中气。先从冬夏二至界相望画一线，次于线中十字处为心，尽边各作一小圈，名黃道圈。圈上勻分二十四分，两两相对作虚线，各识于周天圈上。在赤道上者，即春秋分；次北曰谷雨、处暑，曰小满、大暑，曰夏至；次南曰霜降、雨水，曰小雪、大寒，曰冬至。因图小，止载中气，其余节气仿此。就中再勻分一倍，即得之矣。而其日影之射于地者，則取周天所识，上下相对，透地心斜画之。太阳所离赤道纬度，所以随节气分远近者，此可略见。凡作日晷带节气者，皆以此为提纲，欧罗巴人名为‘曷捺楞马’云。”〔9〕

何为“曷捺楞马”？目前经多人多方面的研究已证实，其实际是拉丁词Analemma的音译。那么什么是Analemma呢？也有人考证，这实际上是古希腊人创造的一种专门用来研究宇宙的平行正投影〔10〕。此方法将投影点设在无穷远点，让光线平行穿过天球，假想在天球中间有一个平面垂直于光线，这样可画出天球的模样。由此，我们看出，利玛窦传入了西方曷捺楞马法。他在这个过程中说明了球面上平行于透射光线的圆（如地平圈）被透射成直线段，说明了和透射光线垂直的圆（如过南北极的经线圈）被透射成圆等性质。同时，也给出了它们的正确画法。

此外，在利玛窦日常活动中，也曾多次提到过日晷。如在肇庆他曾指导瞿太素制造日晷，在南京曾辅导张养默制造日晷等。日晷作为一种古老的利用太阳来计时的仪器，东西方都有，但各有所长。东方的多是赤道日晷，没有什么投影理论。而西方的多是地平日晷，其以西方古代天文学基本构架为基础，使用的方法正是曷捺楞马法。而利玛窦当时带来的和在中国制作的日晷不同于中国式的，通过其描述我们考证也正是地平日晷〔1〕。也由于此可看出，利玛窦的确带来了西方平行正投影。

关于平行正投影在我国古代曾经有人研究过，如北宋时期的著名画家建筑学家李诫（？－1110）。在他的《营造法式》（1103）中我们可以看到有不少图形的绘制采用的是正投影的方法。再如明代出现的《鲁班经》（万历年间），其中也有很多正投影图〔11〕。但是，中国古代的平行正投影似乎都没有研究过球面。就是曾经研究过的立方体（如房屋、石头等）也没有具体的确定的绘制方法——没有使用精确的几何绘制。所以，利玛窦在这里的介绍在当时还是先进的，是对我国平行正投影研究的补充和推进。

三、利玛窦传入了球极投影和画法几何

利玛窦在给国人展示西方物品的时候，其实不只是展示了地图和日晷，而且还展示过一些相对较为复杂的天文仪器，如星盘等。〔1〕对于星盘，利玛窦特别用心。这一方面是星盘有很多的内容，非常新颖，另外也是有克拉维乌斯的《论星盘》作后盾，其可介绍的内容多而且系统。而星盘，作为一种先是在古希腊时期被当时的数学家和天文学家发明，后又在欧洲非常流行的天文仪器，在制作的时候常常需要很多数学知识，因此，星盘在欧洲有“数学之宝”的美称。〔12〕在星盘制作需要的数学知识中，除了欧氏几何和圆锥曲线知识以外，还需要球极投影的知识，球极投影是制作星盘的关键。所以，学习星盘制作必须学习球极投影。〔13〕

据载，利玛窦在广东曾教授过瞿太素制作星盘，在南京曾教授过张养默制作星盘。到了北京其又和李之藻等人讨论了星盘的制作，并使李之藻也学会了制作星盘。利玛窦曾说：“李良（李之藻）对数学的其它部门也感兴趣，他全力以赴协助制作各种数学器具。他掌握了丁先生（克拉维乌斯）所写的几何学教科书的大部分内容，学会了使用星盘，并为自己制作了一具，它运转得极其精确。接着，他对两门科学写出了一份正确而且清晰的阐述。他的数学图形可以和任何欧洲所绘的相匹敌。他论星盘的著作分两卷出版。利玛窦神父把一份送给了罗马的耶稣会会长神父，作为中国人完成的第一部这类著作的一个样本，另一份送给了丁先生，因为他本人曾一度从丁先生受教。”〔1〕

这里提到的“论著星盘的书”即是《浑盖通宪图说》。在这本书的序言中，李之藻也说：“昔从京师识利先生，欧逻巴人也。示我平仪，其制约浑，为之刻画重固，上天下地，周罗星程，背结规筒貌则盖天，而其度仍从浑出。取中央为北权，合《素问》中北外南之观；列三规为岁候，邃义和侯星寅日之旨，得未曾有，耳受手书，颇亦镜其大凡。旋奉使闽之命，往返万里，测验无爽，不揣为之图说，间亦出其鄙谢，会通一二，以革中历。”〔14〕由此可见，利玛窦给李之藻讲解了球极投影，并教会了他星盘的制作和使用方法。

下面我们再具体看《浑盖通宪图说》的内容。此书上下两卷共二十一部分。在第一部分卷首中，他说：“浑仪如塑像，而通宪平仪如绘像，兼俯印转侧而肖之者也。塑则浑圆，绘则平圆，全圆则浑天，割圆则盖天。”在地平受子午规之图中说：“浑天极圆，今割去黄道短规以南一小弧为平仪所不用者，此内大弧自午中冬至度，逾北极际迄夜半冬至度，共径二百二十七度，平仪截用为盖天形，而置北极于中央云。”在总图说第一中说：“浑盖旧论纷纭，推步匪异。爰有通宪，范铜为质。平测浑天，截出下规，遥远之星所用。固仅依盖是为浑度。盖模通而为一面，为俯视图象。”提到子午线时又说：“其过顶一曲线结于赤道卯酉之交者则为正东西界，其余方向皆有曲线定之，近北窄而近南宽，盖若置身天外斜望者。”在地盘长短平规图说第四中又说：“故有昼短规，有昼夜平规，有昼长规，而短规最大，平规次之，长规最小。盖平仪系极中央，中央之极，实该南北二极。试设八尺浑仪于此，人目自南极之外以望北极，昼短之规最近，定觉最大，昼夜平规次近，则觉次大，昼长之规最远，则亦觉其最小，平仪立法于此。而中国在赤道以北，故置昼长规于赤道内，昼短规于赤道外。凡昼短规以内，其星稠。而在望近短规以外，其星有不可望者矣，夫是以略也。”〔15〕由此可见其传入了球极投影（stereographicprojection）原理。球极投影是发端于古希腊天文学研究的一种数学方法，这种方法的创始人已不可知，有人认识是托勒密（C.Ptolemy,100－170），有人认为是喜帕恰斯（Hipparchus,BC180－BC125），还有人认为是更早的欧多克斯（Eudoxus,BC400－BC347）。这种方法的原理是：假设球体是透明的，而光线也是沿直线前进的。然后在球的南极（或北极）放置一个投影点，在赤道放置一个平面，让光源向平面发光，这样就可以在平面上看到除南极点之外球面上所有点的投影了。如图三所示。这种投影的特点是：赤道圈的投影和自身重合；赤道以北的半球上的元素投到平面赤道圈的内部，反之，球面上赤道南部半球上的内容投影到平面赤道圈的外部；球面上近北极的点，其投影密集，近南极的元素，其投影稀疏；另外，这种投影还有两个重要的特性，一个是保圆性，一个是保角性。保圆性就是在投影变化下，球面上任意的不过两极的圆都被投影成一个圆。过两极的经线圈被投影成直线。保角性是指，投影的时候，球面上两个弧线之间的夹角可保持不变。由此，其可以帮助人们很好地测量天体和研究天文学。〔16〕

再看下面的内容。在地盘长短平规图说第四中，其介绍完了昼长规和昼短规之后，还给出了具体的画法，为：“先以昼短规分周天度。就子午线之中右寻二十三度半为界，从此斜画一线，贯子午而右到酉中而止。取其与午线过处，从枢心旋一圆是为昼夜平规，即赤道规。又于赤道规分周天度，从午中右行数二十三度半，斜画一线到酉中，取其过午线之处为界，从心画以圆是为昼长规。”其给出的图形如图四所示。

在定天顶图说第五中，其介绍了天顶和天顶规的投影画法。以北纬400为例（当时测的北京的纬度）天顶具体的做法是：“先将赤道规分周天度，乃于卯线北行起算，依地方北极出高几度几分分立界于赤道之规，而画弦以贯盘心。北左界为北极，南右界为南极。此名南北极轴。又于午线之东亦寻北极度分为界。此界正当二极之中赤道之位，亦贯盘心画弦为之赤道轴。自此赤道南轴斜望酉中，经过午线再画一弦，取其交午线处即为所求天顶。”〔15〕

此后，还有黄道的天顶规的画法、地平规的画法、地平渐升度的画法、朦胧影的画法、黄道的画法、黄道十二宫分点的画法、黄道经线的画法、黄极和赤道南北极的画法、有各种坐标的恒星的画法等等。由此看见，李之藻从利玛窦那里还学习了西方早期的画法几何，并介绍给了国人。

四、利玛窦传入了透视法

在利玛窦给国人展示的物品中，也多次提到西方绘画，如圣母像、耶稣像等。这些绘画，有的是从印度、澳门、日本等外面经教友转来的，也有是利玛窦自己绘制的。据载，1602年利玛窦曾奉中国皇帝的命令，耗时两三天绘制成的“西方宫廷生活图”是一幅〔17〕，还有利玛窦晚年也曾绘制过“野墅平林图”也是一幅〔18〕。利玛窦采用的什么方法画这些画呢？虽没有文字记录，但可以从其它地方找到证据。从现存于辽宁省博物馆的“野墅平林图”中我们可以看出，其不是中国式的写意画法――虽然入画内容是山水。其远近分明，明暗比例协调，灭点固定，视野开阔，显然是采用了西方透视画法。还有，利玛窦在1601年将圣母像献给皇帝之前，曾给很多人展示过，在展示的时候，还对比中国画进行了讲解，他曾说：“中国画但画阳不画阴，故看之人面躯正平，无凹凸相，吾国之画兼阴与阳写之，故面有高下，而手臂皆轮圆耳。凡人之面正迎阳，则明而白，若则立，则向明一边者白，其不向明一边者眼耳鼻口凹处，皆有暗相。吾国之写像者，解此法用之，故能使画像与生人亡异也。”〔19〕在《几何原本序》时他又曾说：“察目视势，以远近正邪高下之差，照物状可画立圆、立方之度数于平版之上，可远测物度及真形。画小，使目视大，画近，使目视远，画圆，视目视球，画像，有坳凸，画室，有明暗也。”〔20〕还有，在利玛窦学习过的罗马学院的课程表中明确标有：透视学，学习三个月。〔5〕由此，利玛窦懂得当时在欧洲兴起的透视画法，了解其中的数学投影原理，在绘画的时候采用了透视法。

国人中跟利玛窦学习西方绘画的也有，这其中最有名的就是游文辉。游文辉，字含朴，澳门人。1575年生人，1593到1598到日本接受基督教训练，之后回国追随利玛窦。其间因为他酷爱绘画并曾在日本初步学习过，所以其主要是跟利玛窦学习绘画和从事绘画活动。〔21〕游文辉作为一个西画的初学者留下来的作品并不多，目前最常见的是1610年利玛窦去世之后他绘制的利玛窦画像。“这是一幅标准的西方肖像画，构图既饱满又简练，显示出相当的艺术概括能力。……该画对明暗的处理也很有特色，光线从画面左上方射去，在眼眶、鼻梁、面颊的暗面投下了丰富的阴影，尤其在白色衣领上的投影可以明显感受到强烈的光源。……17世纪的中国人能将油画肖像绘至这样的水平，的确是件非常不容易的事情。”〔22〕从此可看出，游文辉熟悉西方绘画的原理，利玛窦一定给他讲解过其中的数学理论即当时在西方流行的透视法。

五、结束语

综上我们可以看出，明朝末年在利玛窦的多项活动中，其不仅传入了著名的欧氏几何，而且还传入了多种非欧氏几何。这些非欧氏几何更加直接地应用到了平时科学技术活动中，特别是天文、地理和绘画艺术中，更有利的促进了当时我国科学技术的发展。其实正是由于利玛窦此时对于这些几何知识的介绍，才使得后来有多种数学的传进。比如，正是利玛窦在这里介绍了“曷捺楞马”，后来才有的汤若望（J.A.S.V.Bell,1591－1666）在编写《恒星历指》的时给出了四种计算恒星坐标的简平仪法；〔23〕正是这里利玛窦介绍了《圜书》中的椭圆，才有的后来罗雅谷（J.Rho,1593－1638）在编写《测量全义》时对《圜书》的全面提及；〔24〕还有正是这个时候利玛窦曾介绍过透视法，才使得后来大量的透视法内容传入我国，于1729年出现了我国第一部画法几何的专著《视学精蕴》，〔25〕等等。所以，利玛窦对于非欧氏几何在我国传播做出的贡献一点也不必欧氏几何在我国传播做出的贡献小。如果要说到实用性，前者甚至还要大于后者。

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