数学思维训练

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小学数学教学中，与概念、分式、定律、性质和法则并重的，无疑要推解题计算了。我们以为，解题教学中，很重要的一点是在掌握一般解法的同时，还应当教会学生标新立异，破常规，换角度，重分析，讲创新，学用结合，强化思维训练，实现知识与能力的同步发展。

本文拟从三个方面谈谈解题教学当中，如何转换分析角度，加强思维训练。

一、四则运算中，要通观全题，转换思路，训练思维的灵活性和简洁性。

四则运算中同样要讲究思维的灵活和简洁，要防止僵化，避免繁琐。

例1、计算55/3514×5/7。

分数乘法，按法则学生常常不加思索，先把带分数化为假分数，尔后再乘。但观察本题，63与5/7,49/55与5/7分别可以约简和约分，因此结合学过的知识，有

原式=(63+49/55)×5/7=63×5/7+49/55×5/7

=45+7/11=502/11。

整个计算灵活而简洁。

例2、计算(11-11/36)+(9-11/36×5)+(1-11/36×3)+(5-11/36×9)+(3-11/36×7)+(7-11/36×11)。

要是按部就班先算出每个小括号内的结果，是麻烦的。但分析比较每个小括号内的被减数和“减数”，马上会使我们想到去括号，并灵活地将被减数和“减数”重新组合起来，于是有

原式=(11+9+7+5+3+1)-11/39×(11+9+7+5+3+1)

=(11+9+7+5+3+1)×(1-11/36)

=36×25/36=25

此处思维的灵活性还体现在乘法分配律对减法的通用。

二、应用题求解中，要抓住数量关系，转化思路，训练思维的深刻性和创造性。

抓住应用题的数量关系，探索问题的实质，积极主动地发现新路子，提出新见解，为最终创造性地解决问题服务。

例3、一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝上一次剩下的一半，问甲五次一共喝下多少牛奶？

这道题本身不难。把五次所喝的牛奶加起来即出结果。但要是这样想：甲喝过五次后，杯中还剩多少奶？一杯牛奶减去剩下的，不就是喝下的了吗？这一思路的有新意。如果再以一个正方形表示一杯牛奶，则右图中阴影部分就表示已喝下的牛奶。而不带阴影的部分为所剩牛奶。那么1-1/32=31/32（杯）即甲所喝牛奶。以上思维就比较深刻且数形结合，富有创造性。（附图{图}）

例4、某筑路队计划6天铺900米水泥路，结果提前一天完成了任务。问工作效率提高了百分之几。

常规解法不成问题，其综合算式及结果为：

[900÷(6－1)－900÷6]÷(900÷6)＝0.2＝20％。

变换思路：提高工效后5天铺好，原计划6天铺好。也就是说现在铺一天相当于原计划铺6÷5＝1.2（天），因此，现在的工效是原来的120％，从而工效提高了20％。其综合式是

6÷(6-1)-1＝20％

这一解法别开生面，独到而巧妙。

三、面积计算中，转化着眼点，训练思维的广阔性和有序性。

小学几何的面积计算中，学生常常苦于思路闭塞。教学中应采用辅助线或图形变换等，启发学生分析。分析的着眼点不同，解题思路也不同。解法也会不一样，这种一题多解或一法多用正是思维广阔性的体现。

例5、正方形的边长为8厘米，求图1中阴影部分的面积（为方便计，取3作π的近似值）。

（附图{图}）

要求阴影的面积，就图1，思考路子不很明显。一旦作出正方形对边中点的连线（图1─1），思序就容易入轨。

（附图{图}）

析解1从图形可以看出阴影的面积就等于大直角扇形的面积减去①、②、③三块图形面积所得的差。即

S[,阴影]=S[,大扇形]-S[,①]-S[,②]-S[,③]

=π/4-8[2,]-(4[2,]-π/4×4[2,])-4[2,]-π/4×4[2,]

=48-(16-12)-16-12

=16(平方厘米)

析解2观察图1，连对角线，并作适当割补（图1─2），由图1─2，很快可发现阴影的面积就等于大直角扇形的面积减去一个直角三角形的面积的差，所以

S[,阴影]=S[,大扇形]-S[,直角三角形]

=π/4×8[2,])-1/2×8×8

=48-32

=16(平方厘米)

（附图{图}）

析解3就图1，再作一个对称的直角扇形（图1─3），我们把阴影块标（一），其余三块分别标上（二）、（三）和（四），从图1─3看出，S（一）＝S（二），S（三）＝S（四），而

S[,三]=S[,四]=S[,正方形]-S[,大扇形]=8[2,]-π/4×8[2,]≈16（平方厘米）（附图{图}）

析解4分析图1─1，可以设想将图1─1中的图形①迁移到扇形③的右上角而正好填满所在的小正方形，见图1─4。这就是说，图形①、②、③的面积之和恰好等于大正方形的一半。于是有

S[,阴影]=S[,大扇形]-(S[,①]+S[,②]+S[,③])

=S[,大扇形]-1/2S[,正方形]

=π/4×8[2,]-1/2×8[2,]≈48-32

=16（平方原米）

（附图{图}）

综上可见，不同的着眼点将产生不同的解题思路，也因此可以较好地训练思维的广阔性和有序性。