数学函数奇偶性

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函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，一些较难，而又特殊类型的数学题求解，不但能达到另辟途径，巧解妙证的目的，而且也能培养学生创造思维能力。下面就笔者的一些实践体会,举例加以说明。

一、利用奇偶性求函数的解析式

例1已知x∈(-1,1),且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若f(x)+g(x)=2lg(1+x),求f(x)与g(x)的解析式.

解:由f(x)+g(x)=2lg(1+x),

得f(x)=2lg(1+x)-g(x)(1)

∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)。

故f(-x)=2lg(1-x)-g(-x),

即f(x)=2lg(1-x)+g(x)(2)

由(1)+(2)得2f(x)=2lg(1+x)+2lg(1-x),

∴f(x)=lg(1-x2).

同理可求g(x)=lg（1+x）／（1-x）

二、利用奇偶性求函数值

例2已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()(1990年全国高考题)

解:设g(x)x5+ax3+bx，则f(x)=g(x)-8，g(x)=f(x)+8.

∴g(-2)=f(-2)+8=18。

又g(x)为奇函数，

∴g(-2)=-g(2)，

∴f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26，

故选(A).

例3已知关于x的方程x2-2arcsin(cosx)+a2=0有唯一解,求a的所有值.a

解:考察函数f(x)=x2-2arcsin(cosx)+a2,则其定义域为R,且为偶函数.由题设知f(x)=0有唯一解,而由于偶函数的图像关于y轴对称,故此解必为0.

∴f(0)=-2arcsin1+a2=0,即a=π或a=-π。

这里我们挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g(x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.

三、利用奇偶性求函数的周期

例4设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)=-g(x+c)(c>0),则f(x)是以（）为周期的函数.

解：∵f(x)=f(-x)=-g(-x+c)=g(x-c)=-f(x-2c),

∴f(x+4c)=-f(x+4c-2c)=-f(x+2c)=f(x+2c-2c)=f(x),

∴f(x)是以4c为周期的周期函数.

四、利用奇偶性求函数的值域

例5已知x,y∈R,且f(x+y)=f(x)+f(y)

当x>0时,f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在[-5,5]上的值域.

解:令y=x=0,则有f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0.

∴f(x)为奇函数,

f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)=f(3+1)+f(1)=5f(1)=10,f(-5)=-f(5)=-10,

故f(x)在[-5,5]上的值域为[-10,10]。

五、利用奇偶性求函数的单调区间

例6求函数g(x)=x2+1／x2的单调区间.

解:设x1>x2>0,则g(x2)-g(x1)=［（x22-x12）／（x12•x22）］(x1x2+1)(x1x2-1)。当x2>x1≥1时,g(x2)>g(x1)；当1≥x2>x1>0时,g(x2)<g(x1)。由g(x)是偶函数知,g(x)在[-∞,-1]上递减,在[-1,0]上递增。

六、利用奇偶性证明命题

例7已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)=0有n个实根,证明n必为奇数.

证明:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),则f(0)=-f(0),即f(0)=0,即0是f(x)的一个实根.若f(x)=0除了x=0这个实根外,还有实根x1,x2,x3,…,xk(k∈N).而f(x)是奇函数,可知-x1,-x2,-x3,…,-xk也必为f(x)=0的实根,即f(x)=0的非零实根必成对出现,故f(x)=0的实根个数n必为奇数.

七、利用奇偶性求函数的最值

例8如果奇函数f(x)在区间〔3，7〕上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间［-7，-3］上是()(1991年全国高考题)

(A)增函数且最小值为-5.

(B)增函数且最大值为-5.

(C)减函数且最小值为-5.

(D)减函数且最大值为-5.

解:设-7≤x1≤x2≤-3，则3≤-x2≤-xl≤7，

又f(x)在［3，7］上是增函数且最小值为5，

∴f(3)≤f(-x2)≤f(一x1)≤f(7)

∴-f(7)≤-f(xl)≤-f(x2)≤-f(3)=-5

又f(x)为奇函数，

∴f(-7)≤f(x1)≤f(x2)≤f(-3)=-5.

∴f(x)在〔-7，-3〕上是增函数且最大值为-5，故选(B)。

八、利用函数奇偶性证明不等式

例9设a是正数，而是XOY平面内的点集，则的一个充分必要条件是（1986年上海中学生竞赛题）.

证明：考查，以–x替换x，–y替换y,A、B不变.从而知A、B关于x轴，y轴对称.故只研究第一象限中A、B关系即可.

即：.

本解法依据函数图象的对称性，简捷得出证明