三角教材和教法

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1998年4月21日，国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容，其中的调整意见第(7)条为：“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式，不要求记忆。”再联想到1998年全国高考数学卷中，已尽可能减少了这8个公式的出现次数，在仅有的一次应用中，还将公式印在试卷上，以供查阅，而当时调整意见尚未生效（应在1999年生效）。这不能不说对和积互化的8个公式（以下简称“8公式”）的要求是大大降低了。

但是，这次调整的，难道仅仅是8个公式吗？如果认为仅仅是降低了对8公式的要求，那就太表面、太肤浅了。

我们知道，和积互化历来是三角部分的重点内容之一。相当部分的三角题都是围绕它们而设计的，它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力。现在，要求降低了，有关的题目已不再适合作为例（习）题选用了。这样一来，三角部分还要我们教些什么？又该怎样教？立刻成了部分教师心头的一大困惑。

有鉴于此，我认为很有必要重新审视这部分的知识体系，理清新的教学思路，以便真正落实这次调整的意见，实现“三个有利于”（有利于减轻学生过重的课业负担，有利于深化普通高中的课程改革，有利于稳定普通高中的教育教学秩序）的既定目标。

一、是“三角”还是“函数”

应当说，三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的。三角本是几何学的衍生物，肇始于古希腊的希帕克，经由托勒玫、利提克思等。至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科。历史上的很长一段时期，只有《三角学》盛行于世，却无“三角函数”之名。

“三角函数”概念的出现，自然是在有了函数概念之后，从时间上看距今不过300余年。但是，此概念一经引入，立刻极大地改变了三角学的面貌。特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作。致使三角函数可以完全独立于三角形之外，而成为分析学的一个分支，其中的角也不限于正角，而是任意实数了。有的学者甚至认为可将它更名为角函数，这是有见地的。

所以，作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在。现行中学教材也取消了原来的《代数》、《三角》、《几何》的格局，将三角并入了代数内容。这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重。

再从《代数学》的历史演变来看，在相当长的历史时期内，“式与方程”一直是它的核心内容，那时的教材都是围绕着它们展开的。所以，书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍、所在皆是。这是由当时的数学认知水平决定的。而现在，函数已取代了式与方程成为代数的核心内容，比起运算技巧和变形套路来，人们更关注函数思想的认识价值和应用价值。1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时，首要强调的是“形式演算能力”，1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”。现行高中《代数》课本中，充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用，对这三种代数式的变形却轻描淡写。

所以，三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的，这也是国际上普遍认可的观点（下文还将及）。

现行高中《代数》的三角函数部分，也单列了一章专讲“三角函数的图象和性质”，这是与数学发展的潮流相一致的。但若提起三角函数，大多数师生头脑中反映出来的，还是“众多的公式，纷繁的变换”，而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的。这一点，与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差，恐怕也与编者的意图大相径庭。个中缘由固然与三角本身多公式有关，其中和积互化8公式的干扰作用尤其明显。8公式形式类似，记忆也属不易，变形尤难把握，是师生教与学的共同难点。为此反复记忆、题海操练实所难免。

调整以后，降低这部分的要求，大面积地减少了题量，目标中“第一和第三”两个有利于是可以实现的。但另一个（有利于深化课程改革）该如何理解呢？把“函数”作为关键词，将目光放在“图象和性质”上，应当是正确的选择，负担轻了，障碍小了，这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上，这才是“三个有利于”得以贯彻的根本。

二、国外的观点及启示

下面来看一下美国和德国的观点：

美国没有全国统一的教材和《考试说明》，只有一个《课程标准》，在《课程标准》中，他们对三角函数提出了下面的要求：会用三角学的知识解三角形；会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象；掌握三角函数图象；会解三角函数方程；会证基本的和简单的三角恒等式；懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系。

他们还特别指出：不要在推导三角恒等式上花费过多的时间。只要掌握一些简单的恒等式推导，如：之类就可以了。比较复杂的恒等式如之类，就应该完全避免了。

德国在10到12年级（相当于中国的高一到高三）每年都有三角内容。10年级要求如下：

(1)一个角的弧度。

(2)三角函数sinx·cosx·tgx和它们的图象周期性。

(3)三角形中角和边的计算。

(4)重要关系（特指同角三角函数的平分关系、商数关系和倒数关系——笔者注）。

另外，在11年级和12年级的“无穷小分析”中，继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限。

从以上罗列，我们可以看出下面的共同点：

第一，突出强调三角函数的图象和性质。

第二，淡化三角式的变形，仅涉及同角变换。而且要求较低；8公式根本不予介绍。

第三，明确变换的目的是为了三角形中的实际计算。

第四，注意三角函数和其它知识（复数、极坐标）的联系。

这带给我们的启示还是很强烈的。美国和德国的中学教育以实用为主，并不太在乎教材体系是否严谨，知识系统是否完整。我国的教材虽作调整，对8公式不要求记忆。同期颁布的《考试说明》仍要求“能推导并掌握（8公式）”。不要求记忆却要求推导并掌握，怎样实施且不去细说，有一个意图是可猜到的，那就是要让学生知道教材是严谨与完整的。我认为这大可不必。严谨与完整是相对的。现在看来严谨的东西，在更高的观点下是否还严谨？在圈内看是完整的，跳出圈子看，是否还完整？在一个小地方钻得太深，在另外更大的地方就可能无暇顾及。人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分。我们却热衷于在个别地方穷追不舍，这早已引起行家的注意。从这个意义上说。此次调整应当只是第一步。在中学阶段即试图严谨与完整。其实是受前苏联教育家赞可夫的三高（高速度、高难度、高理论）影响太深的缘故。

三、调整后的知识体系分析

根据以上的分析，我认为本部分知识应分为两大块。即“三角函数的图象和性质”与“三角变换”，虽然笔者认为后者该进一步删减，但毕竟目前没有做到。即使以后能大幅删减，也肯定会保留适当篇幅，因为三角变换在理论和实际中都有广泛的应用。

现将本部分知识体系列表如下：

这些知识点中，重点应是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其实前几年的高考对它们也都有充分的体现。只是被8公式的光环所笼罩，我们的重视程度不够而已。当然，现在我们要提高对这些内容的重视程度。千万要避免无限拔高。那样形成前门拒狼（8公式）后门引虎的局面。就大有违调整的初衷。

参考文献

1黄建宏。联邦德国完全中学的数学基础学力介绍。数学教学，190(4)

2陈昌平。介绍美国最新课程标准。数学教学，1990(3-4)