数学解题

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一、问题的提出

例1：根据下面数列找出它的规律

11，31，41，61，71，101，131，….

答案：末位数为1的素数

然而本题给20名数学系大四的学生15分钟的思考时间，20人竟无一人能回答正确。他们中间的同学试图从数字之和去考虑问题，比如1+1=2，3+1=4，4+1=5，6+1=7，这样可以出现131、151、161(错)、181…。行不通：而后又考虑3+1=4，4+3-1=6，6+4-3=7，7+6-4=9，9+7-6=10，10+9-7=11，11+10-9=12，12+11-10=13这样得出除末位数外的前面的数字，出现了41、61、71、91(错)、101、111(错)、121(错)、131、…。之所以没有答案笔者认为他们的思维方向不对。课后的追访验证了我的答案。

教师：这些数有什么的特点?

学生：个位数都是1

教师：还有什么特点?

学生：凭感觉认为后面的数是151、181，再往后就不知道了，看不到它们的规律。

教师：再从另一个角度考虑，比如素数、和数方面想想?

学生：呵!它们都是素数。

教师；这样你可以说出答案了吧。

学生：(想…)还是不行，还是找不到它的通项公式。

教师：答案是末位数为1的素数。

学生：就是这样的答案吗?不是让找它的通项公式吗?我考虑的太多了，我们都认为是让找通项公式。

可以看到学生认为这道数列的题目是让找通项公式，这与他们在高中数学学习中作过大量这样的题目有关，以前的思维定势让他们认为应该有一个通项公式来表达这个规律，然而本题却没有通项公式。

从上面例题可以看出，在解决问题时往往从特殊的简单情形开始，给人一种返璞归真的感觉，但在解题中必须明确，返璞归真的目的不是为了找出几个简单情形的解法，而是为了通过简单情形的解法，悟出规律，抓住题魂，所谓的“返璞归真不为玉，意在灵性通题魂”，体现了“以退为进”的角色模式。但是，逻辑思维能力是一个需要毕生精力不断苦练的功夫，功夫不到就可能跌入新的误区，任何人跌入误区的原因都是未能把握住这条逻辑链——具体问题具体分析，这是研究一切问题的灵魂。如上面的例题一样，遇到数列找规律的问题就不能想当然的认为找通项公式。

二、数学解题教学的几点思考与建议

学习数学必须学会解题，我国是解题的王国，学生解题的基本功非常好，但相当部分学生的功夫是通过“解题类型+方法”机械训练而来的，忽视了解题中数学思维与方法的学习，造成出现上面的种种弊端。因此如何应用数学思维与数学方法论指导解题是当前一个非常关键的问题。

(一)更新解题观念

什么是解题，不同的人有不同的观念，按现代教学论与心理学，可以这么说，数学解题是在数学思维与方法指导下，有目的地运用数学基础知识和基本技能分析与解决数学问题的过程。G.Polya在《怎样解题》一书一开始，把解题过程归结为四个阶段：(1)弄清问题；(2)制定计划；(3)实现计划：(4)回顾；另外，在《数学发现》中，波利亚又从思维活动的形式这一角度对此作出了更为明确的描述：他指出解题过程是由以下的思维活动所组成的：集中目标，估计前景，对途经的寻找，对更有希望局面的寻找，对有关知识的寻找，重新估计形式。他认为解题是人类最富有特征的一种活动，是学生学习数学的中心环节，是一种实践性技能，是发展学生思维能力、培养良好心理品种的重要手段。我们应从“过程、环节、技能、手段”角度去理解数学解题的概念，数学解题教学是用通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会象数学家那样“数学的思维”，因此数学解题的教学目的不仅是提高学生的解题能力，深化巩固所学的知识，而且应是掌握其思维与方法、全面提高数学素养。

(二)分析解题过程

G.Polya在《怎样解题》中，宏观地把解题过程概括为四个阶段：(1)弄清问题；(2)制定计划；(3)实现计划；(4)回顾。从而体现出模式识别、联系转化、特殊化与一般化、归纳、类比等思维策略的指导。就解题而言，最受重视的是制定解题计划，然而就学习解题而言，最重要的是理解题意阶段和解题回顾阶段，以“解”作为出发点，注重的是解题的结果，以“学解”作为出发点。注重的是解题的过程。

(1)弄清问题，明确目标——解题的起点。有位数学家说善于解题的人用一半时间来理解题意，只用一半时间完成解答。我们习惯上说的审题，即弄清问题的已知是什么?未知是什么?条件是什么?关键是学习分析隐含条件的能力，化简已知和未知的能力，达到对问题的深层次理解，利用解题认知结构中适当的解题知识块，识别出问题的类型。

(2)探索思路，制定计划——解题的关键。在这个过程中要实现一系列的转化：或是利用变换问题思维模式、分解与组合的思维模式、构造解题思维模式、整体化思维模式把未知的、把比较困难的问题转化为已知的、较容易的问题以求得解决，或是通过其他问题的研究来获得材料上或方法上的帮助，也就是要利用你的知识结构，文化修养紧扣数学有关基础知识与基本技能认真思考，寻找已知和未知的种种联系，并结合应用逻辑思维、非逻辑思维、数学审美等思维与方法。构思解决当前问题的步骤，探索解决问题的各种方法。对于比较复杂的问题，一时不得解决，还可以进行大胆的猜想，由一般想到特殊，特殊想到一般。总之按波利亚语“我们通过动员和组织、分离和结合、辨认和回忆题中的各种元素以及重组和充实我们的构思这一系列过程的连续进行，来预见问题的解；或解的某些特征：或部分答案的具体实现途径。”

(3)实现计划——解题的表述。要严格推证与计算或按思路具体写出每一步骤，并且要用数学语言与符号严谨表达，做到叙述正确、合理、严密、简捷和清楚。

(4)回顾——解题后的反思。要严格检查，并判断解题正确与否，同时总结解题策略经验、提高解题技能，研究是否能够推广，作出各种可能的延伸。

如：n推广到n(当然后者的证明需要用到数学归纳法、比较分析法等方法。)

再如：求和并证明：我们不仅要用分数求和的形式解决问题，还要学会用数学家对模式的寻找：归纳法来解决问题。而对于问题：设a，b＞0求lim(a+b)，我们即要用极限的方法解决又要尝试数学家的特殊化方法。

注意在解题后的回顾这个过程中，我们不仅要回顾有关的知识、解题方法以及理解题意的过程，而且更要反思：一开始是怎样探索的，走过那些弯路，出现过那些错误，为什么会走这些弯路、会产生这些错误等等。古人云“_T欲善其事，必先利其器。”解题回顾就是磨利解题武器的过程，它所起到的举一反三的作用，胜过做十道题，在具体教学时，不妨借助“时间等待”理论的思想，留出充分的时间让学生把解题回顾完成。

(三)学会数学思考，力争揭示发现和发明的方法

数学解题学习主要是有意义的发现学习，因此建立良好的解题认知结构至关重要，而解题认知结构的建立和改造有三大环节：知识网络建构、解题实践活动和策略经验积累，其中策略经验的积累最为重要，并且这一环节主要在“解题同顾”的过程中获得。所以说解题教学，并不是去帮助学生寻找万能的解题方法，而是力图揭示发现和发明的方法和规律。尽管万能的解题方法不存在，但解题中存在着各种各样的规则，在教学过程中我们应对这些思维的规则进行明确地描述、从而实现由对合理方法的天才的、不自觉的应用向有意识的自觉的应用的转化，提高学生解题的元认知能力。因此我们要教会学生学习思考，不但要学会有目的的思考，而且学着了解数学的非形式思维过程，因为数学思维所涉及的不仅有公理、定理、定义以及严格的证明，而且还有许多的其他方面，象推广、归纳、类推以及从一个具体情况中辨认或者说抽取出某个数学概念等。我们应让学生通过解题实践掌握越来越多的解题模式，积累越来越多的解题策略经验、问题策略经验以及方法和技巧性经验，发现通常在做什么和应该去作什么之间的差别，懂得如何思考问题和解决问题，如何猜想与预测问题的答案。

摘要：本文通过一个数学问题的解题过程，探索解题中渗透的数学思维与数学方法，并概括了数学解题教学应达到的目标，力求能够指导数学解题的教学。

关键词：数学解题；逻辑思维；非逻辑思维；数学思维