网络科学数学论文
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1网络科学的内涵
网络科学有不同领域的定义，总体来说可以认为，网络科学是研究各类实际系统复杂网络结构共同规律的新兴交叉科学，研究内容涉及网络结构及其性质、网络结构与功能之间的映射关系以及网络动力学行为和预测，并对网络的设计与控制提供可行的方法。网络科学的研究对象包括物理网络、信息网络、生物网络、认知网络与社会网络等。例如，自然界中存在新陈代谢网络、蛋白质作用网络、神经网络、生态网络等多个层次的生物网络，物理世界中存在人造的电力网络、城市交通网络、航空网络、计算机网络等基础设施类型的技术网络，人类社会中有商业经济网络、人际关系网络、恐怖组织网络等各类社会网络，同时万维网、科学引文网络、语言网络等又构成了新型的信息网络。另外，上述各类网络相互交叠渗透又会形成混杂网络。例如，在线社会网络是社会网络与计算机网络融合而成，物联网是物联网络与计算机网络融合而成，移动互联网作为新型计算机网络，既是人类社交活动的主要平台，也是地理位置等物理环境信息的感知工具；网络中心作战和基于信息系统的体系作战涵盖了信息空间、物理空间以及人的认知空间和社会关系与行动空间；生物网络则涉及基因、细胞到人脑等机体多个层次，纳米尺寸的量子世界更是呈现超大规模粒子之间的复杂相互作用。
2网络科学与其他学科的交叉
网络科学是基于数学和系统科学，结合物理学、复杂性科学、非线性科学、计算机与信息科学、生物科学、管理科学、社会科学发展起来的新兴交叉学科，同时网络科学亦日益渗透到各个学科，并对各学科发展产生了深远的影响。它不仅为人们提供了认识真实世界的复杂性的全新的科学知识和视角，而且将成为改造客观世界的新的方法论和有力武器。信息科学领域，网络科学用于分析通信网络等拓扑结构，对通信网络结构与通信协议的设计具有巨大的指导意义；社会科学领域，网络科学被应用于刻画和分析人类社会关系，产生了社会网络分析，根本上改变了社会学家以往依赖于采样调查的研究方式；生命科学领域，基因相互作用网、蛋白质相互作用网、基因与蛋白质相互作用网、代谢网络和神经网络等都得到了分析，尤其是传染病在人群传播的研究中，对人际接触网络的分析又将生物科学和社会网络分析结合起来；认知科学领域，大脑网络分析在语言学中得到大量应用，人们相继在各种不同语言的单词的共现性网络结构、语义网络结构和语法关系网络结构中发现了极其相似的结构特征，并且逐渐将网络分析拓展到认知、记忆和语言学等诸多方面；军事领域，近年来提出的大多数战争理论，如网络中心战、空海一体战等，均建立在网络科学理论基础上，对网络科学提出了重大需求。而在物理学领域，研究复杂网络的主要原因是理解网络拓扑结构对物理过程的影响，如网络拓扑性质对典型物理过程———渗流与疾病传播的影响。
二网络科学对数学的挑战
1数学是研究数和形的科学数学是研究
现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单说，是研究数和形的科学，其中数的研究又可以分为连续数学和离散数学。综观世界的文明史，人类经济发展到每一个阶段，都会产生代表这阶段的科学技术，并存在一种通用的学科表达语言，以客观地描述人们所了解的一些发展规律。在工业经济时代，微积分的产生使得有关能量转换、动力、瞬时速度、运动加速度、运动与运动之间的关系等问题可以在分析数学这个层面上统一认识，许多有关工业经济中的问题可以通过解方程的方法进行求解，因此可以说微积分是工业革命时期的学科表达的数学语言基础。而离散数学则是计算机革命时期学科表达的数学语言基础，因为人们使用离散数学里面的概念和表示方法，来研究和描述计算机科学下所有分支的对象和问题，如电脑运算、编程语言、密码学、自动定理证明和软件开发等。那么，当今各类现实系统的复杂性需要什么样的数学语言来刻画和描述？可以说，网络科学是其中一种最有可能的选择。究竟什么样的网络的拓扑结构能够描述真实的系统呢？如前所述，人们的认识经过了3个阶段：19世纪40年代，人们认为系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示出来，即规则网络；20世纪60年代随机图理论诞生后，人们认为系统中个体之间的关系是随机的，可以统一用一个概率来表达，即随机网络；世纪之交，人们进一步发现，很多真实的网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络，被称为复杂网络。当然，复杂网络目前并没有严格的定义，但大致上包含以下几层意思：首先，它是大量真实复杂系统的拓扑抽象，具有大量的节点和复杂的连接，网络的拓扑不同于规则网络或随机网络；其次，复杂网络之上的动力学特征显著不同于规则网络或随机网络之上的动力学特征，无法用规则网络或随机网络两种理论来解释。由于复杂网络是大量复杂系统的拓扑抽象，因此对它的研究被认为有助于理解“复杂系统之所以复杂”这一至关重要的问题。但十余年已过去，尽管网络科学在各个领域的应用飞速发展，但理论本身的发展却停滞不前，亟待突破。
2如果我是欧拉，如何思考大数据
如果我是欧拉，我会再次用几何的思想来考虑当今世界各类系统的复杂性，下面以大数据分析为例进行阐述。数据是信息的载体，那么数据内蕴信息的本质是什么？几乎在网络科学进入第2个阶段的同时，通信的数学理论取得了突破，香农1948年发表了《通信的数学理论》，奠定了现代信息论的基础，解决了数据如何完整高效地传输的问题。传统的数据处理理论基于捕获、传输、存储和计算所有的数据，这一理念遍及过去所有的计算、通讯、数据获取与分析等研究工作。但时间到了21世纪，人类已经进入大数据时代，数据生成的速度远远超过能够及时捕获并存储的速度；数据积累的数量远远超过有效传输并集中管理的数量；数据携带的信息远远超过能够有效识别和提取的能力。在大数据时代背景下，美国AT＆TShannon实验室2010年2月指出：迫切需要发展符合“只取所需”原则的数据处理新理论。而建立新的数据处理理论前提是必须给出大数据内蕴信息的数学表达原理。大数据分析之所以难，一是因为数据量巨大，但更本质的问题还在于数据内蕴信息的复杂性。数据属性之间关联，相互影响，彼此耦合，形成了错综复杂的关系，使得人们面对大数据一片茫然，无处下手。如果把我们自己置于数据属性空间中看这些复杂关系，就会理解到：数据属性间的复杂关系，从数学的角度可抽象为高维空间中复杂的几何结构，而且，我们的研究结果表明，数据之间的关系往往发生在高维属性空间中低维子空间上，这与高维空间中数据显著的稀疏特性是内在一致的，这就使得这种关联关系本质上呈现出高维空间不同子空间的聚集特性，其计算非常困难。高维空间中几何结构的拓扑识别是指利用拓扑学的方法分析高维空间中的几何结构，寻找刻画几何结构的拓扑不变量，从而发现大数据复杂信息本质结构的过程，因此大数据分析问题本质上可归结为不同子空间数据几何结构的拓扑识别问题，即在数字的世界里寻找有价值的形状，从而达到数与形的统一认识。这一观点与当年欧拉解决七桥问题的思路有异曲同工之妙，但难度却大了许多。首先，大数据复杂性信息表达的维数达到成千上万维，需要高维拓扑理论而不再是欧拉当年的一维拓扑；其次，从计算角度分析，现在的网络，其节点规模动则成千万上十亿，不再是欧拉当年可数的几个节点，需要基于高性能的计算平台才能实现大规模网络规律的发现。2012年11月16日，《自然》杂志的科学报告栏目报道了德米特里－克里欧科夫教授的一项研究结果：宇宙膨胀与大脑成长相似，一些尚未发现的基础规律可能支配着多种或大或小的系统，从脑细胞之间的电信号传递，到社交网络的扩张，甚至是宇宙的膨胀。这一结果正是由加州圣地亚哥超算中心大数据项目组取得的。
3网络科学的数学挑战
网络是现实世界系统存在的一种基本结构形态。从微观层面看，进入纳米尺寸的量子世界呈现超大规模粒子之间的复杂相互作用，理解网络结构及其演化是掌握物质基本粒子运动规律、认识微观世界的必需；从宏观层面看，互联网是现今最大的数据集之一，同时亦是人类社会活动的一面镜子。以互联网大数据为驱动的网络科学研究是认识人类社会这一复杂系统的关键之钥，必将显著提高人类认识世界改造世界的能力，促进人类社会的全面发展。整个世界呈现出不断网络化的趋势，人类社会进入全面网络化时代，但却缺乏理解、设计、管理网络的理论基础。综合起来分析，作为网络科学的数学理论面临4个方面的挑战：一是针对复杂性数学描述的挑战，需要研究系统复杂性新的网络拓扑表示理论，复杂性涉及实际系统的高维属性和关系存在的低维流形子空间，需要创新高维空间的子空间流形拓扑理论和代数几何拓扑学理论，并超越传统图论的方法去描述子空间多元关系；二是针对当今网络规模动则上千万亿级的计算挑战，需要研究大规模稀疏网络结构的计算理论，面对大规模稀疏网络求解问题，需要计算和统计分析以及优化数学方法的创新，并利用高性能并行计算机高效实现；三是针对网络动态变化的挑战，需要研究大规模网络结构的动力学行为，大规模网络上的动力学行为研究离不开偏微分方程组分析和求解等数学理论新的发现；四是针对不同层次网络混杂的问题，也就是网络的网络问题，需要研究网络融合的数学机理，计算机网络、社会网络、物联网络等各种网络彼此交叉、渗透，形成网络的网络，体现了信息域、社会域和物理域等多域交链和相互作用的结果，不但催生大量新型网络应用，而且对网络融合机理提出挑战。总之，系统越复杂，对数学理论工具的需求就越迫切，因此，网络科学研究必将极大牵引数学基础理论的创新发展。目前，正处于网络科学发展第4个阶段的前夜，谁又将是下一个突破者呢？
作者：易东云赵城利黄强娟单位：国防科学技术大学理学院数学与系统科学系
