逻辑代数
前言：本站为你精心整理了逻辑代数范文，希望能为你的创作提供参考价值，我们的客服老师可以帮助你提供个性化的参考范文，欢迎咨询。
现代逻辑常被人们追溯到她的奠基人Frege(Lebniz是先驱者的地位)；接着谈现代逻辑，人们会自然地找到其身后的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(维也纳学派时期)、Quine等人，如此就认为是勾勒出了现代逻辑的脉络。这一看法多年来几乎是毫无异议的。但随着逻辑科学尤其是现代逻辑的不断发展，有潜心思考的研究者（Fisch、Zeman、Hinttika等）发现了那多年来一直被忽视但却蕴藏在现代逻辑诞生之初的分歧，认为分歧之中与权威相对的另一面应该值得重新或深入的研究，这另一面就是由Boole开始经由Peirce、Schröder直至后期Carnap、Tarski、Skolem等人维持的一条路线，它可看作是对逻辑基础研究的另一途径或方法（approach）。著名Peirce研究学者M.H.Fisch一语道出这一分歧的实际情形：“但Boole-Peirce-Schröder(在下文中我们简写为BPS)路线不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead(在下文我们简写为FPR)路线取代了吗？不；它只是被掩盖了。”
字串4
在BPS传统中，Peirce（1839---1914）是位极其重要的人物，这倒不仅是因为他天才般的思维和对哲学和逻辑史上后来工作者的实际影响（美国本土哲学家James、Dewey、Mead、Lewis等无不受其影响，甚至欧洲大陆的K.O.Apel等人的思想也多直接源于Peirce），也不仅是因为他涉足领域的广泛（除哲学和逻辑学之外，还有数学、天文学、物理学、语言学、化学、大地测量、心理学、现象学等等）；而主要是因为他在现代逻辑理论史上的诸多实质性的贡献。我们已经很难统计他敏锐的洞察力到底涉及到多少逻辑贡献，但根据迄今为止Peirce学者的研究成果，以下的领域是当然的和主要的：形式逻辑（主要是对传统逻辑的改进）、逻辑代数、关系逻辑、命题逻辑、谓词逻辑、三值逻辑、模态逻辑、语言逻辑、逻辑哲学、归纳逻辑以及逻辑史研究。字串5
Peirce早期的逻辑研究（从1865年到约1885年）主要集中于逻辑代数。在当时，布尔逻辑刚创立不久，布尔的追随者很多，著名的有Venn、Schröder、DeMorgon等人，他们之间的研究有相互启发与借鉴之处（有关贡献的纷争，可参看Kneale的《逻辑学的发展》），但主要还是相互独立的。Peirce就是其中一位极具独立性又最有创新的突出人物。身为著名数学家BenjaminPeirce（美国当时科学界的一权威）的儿子，Peirce本人也是一数学家，他对于代数在逻辑中的应用，得心应手，他甚至曾把“三段论”作为“联结词的代数”来研究。事实上，当时的符号逻辑就是逻辑代数（algebraoflogic）。字串3
字串3
2字串6
在Peirce看来，现代逻辑的研究实质上就是代数到逻辑的一场“类推(analogy)”，这种“类推”的前提，首先就是对代数中的符号的选择。不同的逻辑代数研究者都有着自己的选择，它们或者是从代数中原封不动地引入，或者是对代数中的相关符号做出逻辑意义上的改进。我们这里从Peirce逻辑代数研究中所运用的诸多符号中选取以下主要的几个，其中有的是Peirce本人独创性地提出，有的是Peirce同其他人同时提出和使用，有的是BPS传统所特有的：
字串6
一、包含于（inclusionin或is或assmallas）符号“—<”（它是“≤”的一种方便的写法）的引入。这是最重要的一点，它被Peirce本人多次提到，也被后来的研究者所普遍注意。但Peirce本人称，这一符号是由他和H.McColl同时引入的。Peirce这样定义“—<”：字串6
1、A—<A，无论A是什么；字串7
2、若A—<B，且B—<C，则A—<C。字串1
他说，这样的定义虽然未区分开包含关系和包含于关系，但为形式逻辑目的，却是足够的。Peirce看到包含于符号具有逻辑上的优点：首先，原来布尔的符号只能表达，物的某种描述不存在，而不能说某物不存在；而使用包含于和非包含于（—<（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一横线）），“Griffin(一种怪兽)—<喷火”意思就是，“不存在不喷火的Griffin”；同样“动物—<（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一横线）水生的”意思为，“存在不是水生的动物”。Peirce这种特别的解释很容易使我们想起前些年一直讨论的传统三段论中的主词存在问题；同时符号“—<”的解释也使我们联想到现在逻辑研究中广泛运用的实质蕴涵符号“→”（其实，关于实质蕴涵，Peirce有更清楚的表达：从“x—<y”推到“是y（超文本阅读注释：要在这一字母上方加一横线）的x—<（不可能）”）。其次，在布尔的演算中经常用到的相等号或等值号“=”是一种更加复杂，即有着更大内涵（comprehension）或深度(depth)的关系，而相比之下，“—<”则更为简单方便，我们可以说A=B蕴涵A—字串8
关于Peirce的“—<”符号，还有一点值得一提。在谈到这一系词的三个属性时，Peirce做出了卓有见识的引申。他说，对于包含（containing）关系，我们可有着不同于通常“—<”的理解，从而会得到与之平行的几种逻辑学说。若令a—<´b意为a同b一样小，除了在a同某物一样小时而b不能同这一物一样小之外，a、b之间没有什么不同；则我们可得到数学或量的逻辑学。若令a—<´´b意为所有b是a，除了有a能谓述的某物而b不能谓述之外，a、b之间没有什么不同；这样我们所得到的，在另一方面就仅仅是逻辑学。若令a—<´´´b表示b是a的后承，除了两者导出的后承不同之外，a、b没有什么不同；那么我们得到的将是条件句的逻辑学。这样的一种解释，一方面显示了“—<”或蕴涵在逻辑科学中的基础性的重要作用，另一方面也从一极为特别的角度论证了逻辑的多类型。此外，其与后来模型论的思想也有着本质上的吻合。
字串8
二、包含（inclusive）意义下的逻辑加（符号为“+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）”，有时直接用“+”）的使用。Peirce这样定义逻辑加：字串7
1、A—<A+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）B；字串4
2、B—
3、若A—
符号“+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）”是Peirce在1867年引入的，而（Peirce称）Jevons在1864年，R.Grassmann在1872年，Schröder在1877年，McColl于1877年也相继独立地提出了这一用法，即不管相互间是否相斥，都使用“+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）”，把不同的项加在一起。这也就是我们常说的区别于算术加的逻辑加，或者如现代逻辑中所说的相容析取。譬如“欧洲人+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）共和党人”就表示，把所有欧洲
人和共和党人算在一起，而不用想尽办法，像在算术中一样，把共和党人加上两次。但若是Boole和Venn，他们就会写成“欧洲人+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）非欧洲人的共和党人”或“非共和党人的欧洲人+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）共和党人”，这对于逻辑来说，显然是种不必要的麻烦。字串6
三、对“1”的理解。同布尔（而论域的概念最初是由DeMorgon引入的）一样，Peirce在逻辑上把“1”看作有限论域（limiteduniverseofdiscourse），而不是无限的全体域（anunlimiteduniverse）。他认为，无限域将包括逻辑上可能的所有领域。在这样一个全域中，每一全称命题，如果不是重言的，就是假的；每一特称命题，如果不是荒谬的，就是真的。我们的谈话很少涉及这种全域，我们倒是经常想起物理上可能的，或历史上存在的，或有某种虚构的世界，或是其它的有限域。这样的一种观点可认为是BPS路线的一特色之处，年仅23岁就去世的法国著名逻辑学家Herbrand正是在一方面接受并重视了这样一种认识，另一方面精心研究《数学原理》系统的基础上，在谓词逻辑等现代逻辑理论上做出了突出贡献。事实上，在逻辑史上这样一种观点支持了包括可能世界理论（模态逻辑）、模型论、逻辑语义学和元逻辑理论等在内的一系列理论。然而，与以上有限域的认识截然不同的观点确实在过去以及现在的逻辑学家中存在，最为典型的是Wittgenstein，其名言“一切真命题都是重言式”和“逻辑命题描述世界的脚手架”的提出，正是基于一种无限域的认识；他把现实世界与我们的语言（认为，我们只有一种自然语言或人工语言）一一对应起来，认为我们对任何系统都只有一种解释，任何时候我们都不能跳出我们唯一的语言之外去言说我们自己。字串8
四、其它符号。以下我们将通过定义或描述的方法列出Peirce的另一些符号：逻辑等即等值“=（超文本阅读注释：要在这一符号下方加一逗号）”，与算术上的等号相区别，但Peirce在很多时候，干脆把它写为“=”，只是在逻辑上仍与符号“=（超文本阅读注释：要在这一符号下方加一逗号）”含义一样。逻辑乘（符号为“，”）定义为：字串1
1、A，B—<A；
字串3
2、A，B—<B；字串1
3、若C—
“有（whatitis）”定义为：x—<1，不论x是什么；而“无（nothing）”定义为：0—<x，不论x是什么。在“A（超文本阅读注释：要在这一字母上方加一口朝上的半圆弧）—<B（打印注释：要在这一字母上方加一横线）”中，A（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一口朝上的半圆弧）表示“一些A”，B（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一横线）表示“非B”。量词符号：Π和Σ分别代表“所有”和“一些”。还有，包含以上符号的公式x(1—y)=0;xy=0;xy≠0;x(1—y)≠0，它们或许是我们最为熟悉的。
字串6
字串7
3字串3
以上所谈Peirce的些许理论，当然不能概括出他全部的理论精华；其研究广度如上文所述，而且每一领域都有着独创性或突破性的贡献。但是，历史，包括逻辑史，好象总爱玩弄一种“狡计”：天才总在历史的车轮继续开向前时才能被发现和认同，如Frege的《概念文字》和《算术基础》在发表数年之后，才被Russell和Carnap首先给予重视；Peirce的命运比Frege来得更坏，倒是他哲学上的实用主义理论在提出数年之后也被James给予了赞誉，称他为“实用主义的鼻祖”；但是，正如Russell所说，“我们通常把Peirce看作是实用主义的创始人。但是这种看法需要认真加以限制。现代的实用主义不是出自Peirce，而是出自W.James以为Peirce说过的话。”“他的实效主义（pragmaticism）和James的实用主义（pragmatism）并没有多大关系。”更何况Peirce的逻辑贡献只是在比James更晚的时间才寻到了“伯乐”。
字串6
Peirce的研究状况在国内尤为糟糕。哲学上，人们提到实用主义，首先会谈到James，恐怕只有读过James的人才会知道Peirce，而且多少年来，我们对Peirce的理解仍旧停留在James阶段，即《通俗科学杂志》上的两篇文章：《如何使我们的观念清楚明白》和《信念的确定》。在逻辑上，也没有更好，就是目前我们也很难在某一著作或杂志上找到一篇稍长一点的简介；与Frege相比，我们言现代逻辑，必谈Frege，却总谈不到Peirce。难道说，Peirce真的不重要吗？当然不是！国外多年来的研究以及诸多哲学家和逻辑学家（Beth、Lewis、Tarski、Copi和Hintikka等等）受益于其理论的事实已经表明了这一点。笔者认为Peirce逻辑理论中至少以下的几点应该在目前国内逻辑学界引起重视：字串7
首先，应明确Peirce所代表的BPS路线是属于代数方法（algebraicapproach）的，完全不同于Frege所代表的公理化方法（axiomaticapproach）的路线。Peirce曾专门谈到，“逻辑符号系统的目的”“仅仅且只是逻辑理论的研究（investigation），根本不是建构一个辅助推理的演算”；“为逻辑理论设计的系统应该是尽可能分析的（analytical），把推理分为尽可能多的步骤，把它们都展示于尽可能最一般的范畴之下。”因此，我们不能期望从Peirce那里找到优于或并列于Frege、Peano、Russell等人的所谓标准公理系统的演算。评价Peirce我们决不能以FPR传统的观点和标准，而要以全面的现代逻辑观点：包括各种标准和非标准逻辑、逻辑哲学和哲学逻辑都在内的正在发展着的现代逻辑思想，立足于逻辑的核心：推理，紧紧围绕逻辑的目的：设法增进我们推理的有效性，来进行实事求是的、无偏见的重新认识或者是第一次认识。展开来说，对Peirce的正确评价，其实涉及到我们逻辑研究视角的转换和拓展；任何时候，我们都千万不要把逻辑形式系统的建构与丰富而深刻的逻辑理论研究等同起来，对于真正的逻辑理论研究，我们既不能满足于烦琐概念的诡辩游戏，同样也不能是仅仅的抽象符号的纯演算，要记着，我们所采用的一切手段和工具都服务于我们心中永恒的逻辑目的：（逻辑）有效性的增进，（逻辑）真的追求。
字串3
其次，Peirce从对Aristotle逻辑的深入分析和对逻辑史的细致研究（Peirce曾建立有自己的逻辑图书馆）以及对Kant理论的批判性发展出发，来做出自己的逻辑研究，他对逻辑的态度始终是不带偏激、不遗残缺的。表现在逻辑与数学的关系上，他早就提出，逻辑不能归结于数学，同样数学也不可能归结于逻辑；从而避免了走向Frege和Russell他们逻辑主义的死胡同。表现在对于一阶逻辑的态度上，Peirce并不像Quine（在F
rege那里也隐含着）那样宣称，如果谁不知道一阶逻辑，谁就对逻辑毫无理解，全部逻辑也就只是一阶逻辑；在他看来自我同一的量化理论只是众多逻辑系统中的一个，他常常设法给出一阶逻辑的更为深刻的基础并拓展这一范围，他说，说数学演示方法是唯一普遍有效的，这正是逻辑学家们视之为谬误而要避免的。
字串2
再次，Peirce对待形式化的思想无疑包含了模型论的全部要义。Peirce有着自己的逻辑代数等演算，但他更注重它们的解释；他相信，真正重要的不是什么形式系统，而是潜在的所表达的实在（realities），我们可自由地根据不同场合选择我们不同的系统。
字串9
最后，Peirce得益于早期在对逻辑代数研究中形成的符号逻辑系统目的即逻辑理论研究的思想，使他没有局限于使用代数的符号，而又采取了图表（graph）符号，进而形成了他著名的存在判断图表系统α、β、γ，并最终达到了“大逻辑”（abroadsenseoflogic）--“符号（sign）”或“象标（iconicity）”的理论的认识。其存在判断图表（existentialgraphs）理论，在近年来基于计算机的图表推理表示法发展之后，被应用于人工智能领域，甚至IBM的一研究者JohnSowa，奠基于这一理论又发展出了一概念图表（conceptualgraphs）。
字串7
上述Peirce的一系列观点，在今天处于逻辑科学前沿的Hintikka、J.V.Heijenoort等人那里得到了热烈呼应，他们把Peirce称为语言的模型论观点的一标准成员（integralmember）来对待，并把他与Husserl并提，用来对抗由Frege到Heidegger的“作为语言的逻辑（logicaslanguage）”的传统（其核心观点是，现实世界是语言的唯一解释，不存在多数可能的世界，从而否定模态逻辑的合法性，否认真理的可判定性或主张“真”的无法言说（ineffable））。字串1
字串4
主要参考文献
字串2
Peirce,CharlesSandersCollectedPapersOfCharlesSandersPeirceeditedbyCharlesHartshorneandPaulWeissTheBelknapPressOfHarvardUniversityPress,1931-1935.字串5
Peirce,CharlesSandesWritingsofCHARLESS.PEIRCE(AChronologicalEdition)editedbyEdwardC.Moore,IndianaUniversityPress1984.
字串6
Peirce,CharlesSanderslogic,symboliclogic词条DictionaryofPhilosophyandPsychologyeditedbyJamesMarkBaidwin,TheMacmillanCompany,1925.
字串7
Peirce,CharlesSandersPhilosophicalWritingsofPeirceselectedandeditedbyJustusBuchler,DoverPublications,Inc.,1955.字串6
Hintikka,JakkoLinguaUniversalisvs.CalculusRatiocinatorKluwerAcademicPublishers,1997.
