数学哲学计算机科学管理

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【内容提要】本文对存在于数学哲学与科学哲学、以及数学哲学与计算机科学之间的相互影响和渗透的关系进行了分析，并以此为依据提出了“能动作用”这一知识与概念发展的普遍模式，即我们不仅应当高度重视在不同领域之间所存在的重要联系，而且应当明确肯定这种关系的能动性质。

【正文】

1引言

这一文章有两个相互关联的目标：第一，表明数学哲学在20世纪中与两个很不相同的领域，即科学哲学和计算机科学（包括人工智能），产生了重要的相互作用，而且，这三个领域都由这种相互影响得益匪浅；第二，作为对于这种相互关系的进一步分析，文中提出了“能动作用”(dynamicinteraction)的概念，作者认为，这事实上代表了知识与概念发展的一个普遍模式。

为了讨论的方便，以下先对“能动作用”这一概念作一较为具体的刻划。笔者认为，这主要包括以下四个特征：

(1)在两个先前被认为是互不相关的领域之间可能发现某些出乎意料的联系；

(2)这两者都由这种联系，或者更精确地说，由这种相互作用，得益匪浅；

(3)这并非是静态的、而是一种能动的关系，特别是，先前处于次要地位的领域可能转而占据主导的地位，反之亦然；

(4)在保持相互联系的同时，对立双方又都应当保持一定的相对独立性，这事实上也就是主次地位发生变化的一个必要条件。

数学哲学与科学哲学在本世纪中的相互作用，可以被看成上述“能动作用”的第一个例子：在本世纪上半叶，数学哲学显然在这两者中居于主导的地位，例如，维也纳学派就是由数学哲学（这在当时主要是指数学基础研究）吸取了不少重要的基本思想从而发展起了自己的科学哲学理论，后者并曾在很大时期内一直被看成是科学哲学领域中的正统观念；然而，自60年代以来，科学哲学已逐渐取代数学哲学而在两者中占据了主导的地位，例如，主要就是由于科学哲学的影响才导致了数学哲学在现代的革命性变化。对于数学哲学与科学哲学的这种能动作用我们将在第二节中作出具体分析。

其次，在数学哲学与计算机科学之间我们也可看到同样的“能动作用”。事实上，计算机科学的一些奠基者，即如冯·诺意曼(VonNeumann)和图林(A.Turing)等，先前都曾直接从事数学哲学（基础）的研究，而且，在二次世界大战后的一些年中，计算机科学家们更不断由数学哲学中吸取了一些十分重要的思想，后者并在以后的人工智能研究中得到了进一步的应用；然而，计算机科学的现展，特别是所谓的“机器证明”，则又对数学哲学的研究提出了新的问题，并在一定程度上影响了数学哲学的现展，这样，作用双方的主次关系也就发生了实质性的变化。对于数学哲学与计算机科学之间能动作用的具体分析即是第三节的主要内容。

显然，以上的两个实例也已表明：“能动作用”的概念具有一定普遍性，从而可被看成知识与概念发展的一种模式。

应当提出的是，“能动作用”并非一个全新的概念，特别是，在中国传统哲学中我们即可找到很多类似的思想。

例如，《老子》中的以下论述显然就是与上述关于“能动作用”主要特征的分析直接相对应的：

“有无相生，难易相成，长短相形，高下相倾，声音相和，前后相随。”（二章）

“祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。孰知其极？其无正。”（五十八章）

“反者道之动，弱者道之用。”（四十章）

另外，除去在中国古代哲学中的早期萌芽外，现代的一些学者也曾通过自己的研究提出了类似的思想。例如，特别重要的是，美国女学者格拉斯赫尔茨(E.Grosholz)就曾对数学领域中不同分支间的相互作用，包括逻辑与算术(1981)、逻辑与拓扑(1985)、几何与代数(1991)等，进行了较为系统的研究。格拉斯赫尔茨的结论是：这种相互作用对于数学的发展有着十分积极的作用；特别是，如果在互相作用的同时，相关的分支能保持一定的独立性，那么，这种相互作用就最为有益，与此相反，如果力图将一个领域完全化归成另一领域，则就可能阻碍进一步的发展。

从而，尽管格拉斯赫尔茨并没有能明确地提出“能动作用”的概念，也未能清楚地指明作用双方主次关系的能动（变动）性质，但上述的分析仍可被看成对于她的相应观点的必要深化和合理发展。

2数学哲学与科学哲学的能动作用

众所知，就科学哲学作为一门独立学科的诞生而言，在很大程度上应归功于逻辑实证主义（更为准确地说，即是维也纳学派），而又正是数学哲学在这一过程中发挥了十分重要的作用。

具体地说，对于维也纳学派的贡献我们可以从两个不同的层次上去进行分析：

第一，维也纳学派提出了关于哲学本质的一种新的观点，并突出地强调了逻辑分析方法对于哲学的特殊重要性，从而事实上发展起了一种新的哲学传统，即分析哲学，后者曾在英语国家中长期占据主导的地位。

例如，上述的立场在维也纳学派的“宣言”，即《世界的科学观念：维也纳学派》这一著作中就有着明确的反映：“哲学的任务在于问题和命题的澄清，而不在于提出特殊的‘哲学的’命题。这种澄清的方法就是逻辑分析方法。”([11]p.8)

第二，只是通过维也纳学派的工作，科学哲学才真正成为一门独立的学科。这也就是说，只是通过这一学派的工作，科学哲学才获得了明确的意义，并有了确定的研究问题和方法。事实是，尽管科学哲学的内容和范围等有一个历史演变和发展的过程，但是，维也纳学派的科学哲学观却曾在西方学术界中长期占据支配的地位，以致被看成科学哲学中的正统观点。

就数学哲学对于科学哲学的影响而言，我们显然应当集中于上述的第二方面，但是，由于维也纳学派在科学哲学领域内的工作是与他们的一般哲学立场密切地联系在一起的，因此，只有以后者作为背景来进行分析，我们才能很好地理解此学派在科学哲学领域内工作的性质以及数学哲学在这方面的重要影响。

例如，只有从这样的角度去进行分析，我们才能很好地理解维也纳学派在科学哲学领域内为自己所设定的工作目标，因为后者事实上就是其基本哲学立场在这一领域中的具体体现，或者说，即是由他们的基本哲学立场所直接决定的。具体地说，对于形而上学的反对（或者说，对于经验主义基本立场的坚持）和对于逻辑方法的强调无疑是维也纳学派（更为一般地说，就是逻辑实证主义）最为重要的两个特征，而这一基本哲学立场也就直接决定了其在科学哲学领域内的主要目标，即是要通过逐级的化归，直至那些处于最低层次的直接涉及“直接给予”(immediatelygiven)的概念和命题，以对科学的概念和命题的意义进行澄清（与此相反，如果一个词项不可能借助于直接给予得到建构，那么，所有包含这一词项的命题就都应当被看成无意义的，也即应当被看成形而上学的伪命题从科学领域中排除出去）；另外，从整体上说，这也就意味着我们应以直接给予为基础去建构或重新建构出全部科学（这就是所谓的“统一科学”）。

显然，我们在此即可清楚地看到数学哲学的重要影响：正是逻辑主义的基础研究，也即如何以逻辑为基础建构或重新建构起全部数学的工作，为维也纳学派提供了直接的范例或样板。

然而，就如逻辑主义者把全部数学化归成逻辑的工作遭遇到了严重的困难，维也纳学派建构“统一科学”的努力也并非一帆风顺，并因此而引起了进一步的理论思考，特别是人们开始深入地考察以下的问题：科学的经验基础究竟是什么，是个体的经验，还是公共观察的记录？另外，在所谓的“观察命题”与“理论命题”之间究竟又存在什么样的关系，或者说，在什么样的意义上，理论命题可以由相应的观察得到确证？

容易看出，相对于科学理论的具体建构而言，上述的思考进入了一个更高的层次，因为，它所关注的已不再是任何一个特殊的科学理论的具体建构，而是科学理论的普遍结构。从而，这事实上就代表着维也纳学派科学哲学观的一个重大变化。后者可简单地表述为：科学哲学即是所谓的“元科学”。

从而，这也从又一角度清楚地表明了数学哲学的重要影响，因为，归根结蒂，“元”(meta)这一概念就是由数学哲学中直接借用过来的：它直接渊源于希尔伯特的基础研究，也即所谓的“元数学”。

综上可见，源自数学哲学的概念和思想确曾在维也纳学派的科学哲学研究中发挥了十分重要的作用。从而，就数学哲学与科学哲学的相互关系而言，我们就应当说，在本世纪上半叶，数学哲学占据了主导的地位。

自40年代开始，数学哲学进入了一个“悲观和停滞的时期”；与此同时，科学哲学却已逐步摆脱逻辑实证主义的传统进入了一个欣欣向荣的新发展时期。从本文所采取的角度看，促成后一发展的重要原因之一就在于：尽管科学哲学在此之前曾长期处于基础主义的数学哲学的直接影响之下，但是，即使在这样的情况下，科学哲学仍然保持了一定的相对独立性，特别是，科学哲学始终具有自己特殊的研究问题。由于后者是与数学哲学中的基础问题不很相同的，因此，正是围绕这些问题科学哲学逐步开始了自己的独立发展。例如，在此首先有逻辑实证主义者与波普尔(K.Popper)关于什么是科学与非科学命题划界标准的论争，即这究竟是可证实性还是可证伪性？其后，在更为广泛的意义上，我们又可看到逻辑经验主义与历史主义学派关于科学本质的争论。最后，所谓的新历史主义学派则又对先前的各种观点进行了广泛的批评，并通过不同观点的整合提出了关于科学发展合理性的新见解。从而，从整体上说，科学哲学就已脱离逻辑实证主义的传统而进入了一个新的发展时期。

由于在科学哲学的现代研究中出现了如此之多的新的概念、观点、问题和方法，因此，这就对处于困境之中的数学哲学家产生了巨大的吸引力。例如，在后一领域中工作的学者们迟早会想到这样的一些问题，即如我们是否应当把那些在科学哲学的现代研究中发挥了重要作用的概念或思想推广到数学哲学的领域？又如，有些问题已被证明对于深入理解科学的本质有着特别重要的意义，从而，在数学哲学中我们是否也应当去讨论同样的、或类似的问题？

例如，正是这样的氛围中，克伦瓦(M.Crowe,1975)、默尔顿斯(H.Mehrtens,1976)和道本(J.Dauben,1984)等就曾先后对库恩(T.Kuhn)关于科学革命的理论在数学中的可应用性进行了分析。另外，更为一般地说，托玛兹克(T.Tymoczko)的下述言论则更可以被看成集中地代表了在这一方向上工作的数学哲学家的共同心态：“科学哲学看来确实处在前进之中，数学哲学为什么不前进呢”？([7]p.127)

尽管上述方向上的研究在最初主要是一些推广和移植的工作，然而，随着时间的推移和研究的深入，这种来自科学哲学的影响对数学哲学的现展产生了十分重要的影响，并与数学哲学自身的动力因素一起（后者主要是指对于基础主义的数学哲学的深入批判以及关于应当如何去从事数学哲学研究的自觉反思），事实上造成了数学哲学中的革命。[15][17]

从而，就数学哲学与科学哲学的关系而言，这清楚地表明了一个重要的变化：科学哲学现已取代数学哲学在两者中占据了主导的地位。

最后，应当提及的是，拉卡托斯(I.Lakatos)的工作可以大致地被看成上述转变的实际转折点。具体地说，在60年代初，拉卡托斯曾通过把波普尔的证伪主义科学哲学推广应用到数学领域从而发展起了自己的数学哲学理论，而这事实上也是科学哲学的思想首次被应用到数学哲学的领域。另外，除去上述的工作以外，拉卡托斯又曾在相反的方向上进行了工作，也即是以“数学发展的逻辑”作为基本的概念框架发展起了新的科学哲学理论：“科学研究纲领方法论”。[14]从而，拉卡托斯就不仅最早促成了上述的变化，更从这种“交叉研究”中得到了最大的收益。

综上可见，就本世纪数学哲学与科学哲学的发展而言，在很大程度上就是通过“能动作用”得以实现的。

3数学哲学与计算机科学的能动作用

数学哲学对于计算机科学的影响主要表现于以下的事实：一些源于数学哲学（数学基础研究）的概念和理论在计算机科学的历史发展中发挥了十分重要的作用。

例如，在此可以首先提及（一阶）谓词演算理论：这是由弗雷格(G.Frege)在1879年出版的《概念语言》中首次给出的，而后者则又常常被看成数学基础研究的实际起点；然而，这一主要是为了数学的严格化（更为一般地说，即是思维的严格化）所创立的概念工具现已成为计算机科学最为重要的理论工具之一，特别是，谓词演算的一种特殊形式(theclausalform)更被证明对于人工智能（即如机器证明）的研究是特别适用的。

另外，由图林所给出的“图林机”(Turingmachine)和“通用机”(universalmachine)的概念则可说是一个更为典型的例子。具体地说，这两个概念是由图林在1937所发表的一篇论文中首次引进的。正如这一论文的题目——“论可计算数及其对于判定问题的应用”——所清楚地表明的，图林之所以引进这两个概念，主是为了解决希尔伯特的“可判定性问题”，而后者则就是著名的“希尔伯特规划”的一个部分，即其直接目标仍在于如何很好地去解决数学的基础问题；然而，这两个概念后来却又在计算机的历史发展中发挥了特别重要的作用，特别是，正是基于“通用机”的概念，人们才最终构造出了现代意义上计算机，即带有内存（程序）的计算机——由于后者较好地解决了早一代计算机（即如美国在1946年所建造的第一台电子计算机ENIAC）所存在的“计算”快、但却需要花费大量时间和精力来编制相应的程序的弊病，因此，这确实代表了一次真正的进步。

最后，我们在此还可提及罗素的“类型论”。如众所知，罗素之所以提出“类型论”，其直接起因是为了能够很好地解决悖论的问题，罗素并以此为基础而提出了关于逻辑主义的一个新的纲领，即是如何以逻辑为基础去开展出全部数学，同时则又可以避免悖论的威胁。令人吃惊的是，这一完全源于数学的哲学思考的概念现也被证明对于计算机科学是十分重要的，因为，计算机的程序语言通常是分类的。这也就是说，为了避免混乱，在给出一个函数时，我们应当具体地去指明其中所包含的变量的类型。显然，这事实上就是类型论的基本思想。

如果说源自数学哲学的概念和理论曾对计算机科学的发展产生了十分重要的影响；那么，就如前述“能动作用”的模式所表明的，数学哲学与计算机科学的主次关系现在似乎也已发展到了一个转折点，即计算机科学现正反过来对数学哲学的现代研究发挥着实质性的影响。

具体地说，就计算机科学对数学哲学的影响而言，机器证明可以说起着最为重要的作用，而也正是在这样的意义上，四色定理的机器证明(1977)就可被看成上述主次关系转变的实际转折点。因为，在人类的历史上，这真是破天荒的一个事件，即是一个重要的数学定理由于使用计算机而得到了证明，而且，后者在其中所发挥的作用是不可或缺的（计算机在此被用于对各种特殊情况的检验，由于后者的数量如此之多，相应的检验又是如此之繁琐，因此，如果不使用计算机，所说的检验过程就不可能得以完成）。但是，人们又不禁要问：这种借助于计算机的证明能否算是一个真正的证明？这样，计算机科学的发展就直接导致了如下的哲学思考：什么是“数学证明”？或者说，究竟什么是“数学证明”的本质？

自1977年以来，已经有二十多个年头过去了；但是，上述的问题却象一个幽灵一直缠绕在数学家和数学哲学家的心头，因为，计算机在数学中的应用现已不再是一个偶见的现象，而且，这种应用的性质也已发生了十分重要的变化：如果说在四色定理的证明中计算机只是充当了某种较为次要的角色，即只是具体地去实施某些细节性工作，而主要的证明思想仍然是由人类所事先设计好的，那么，一些现代的证明机器（即如由LarryWos所设计的）就不仅可以对一些已知的定理设计出某些新的、也即从来没有为人们所想到过的证明，而且已成功地证明了某些人们所一直没有能够证明的重要的数学结论。

事实上，从更为广泛的意义上来说，计算机可被认为正在改变数学的性质，因为，计算机不仅为数学研究提供了新的研究工具（应当明确，所说的工具作用不只限于计算和逻辑演算，而且也包括其它的功能，如图象显示等），而且也直接导致了数学研究方向或重点的转移（例如，由于计算机的使用使得大量过去无法实现的计算成为可能，这就不仅使一些传统的研究问题得以复活，而且还直接导致了一些新的研究分支，如“计算数论”、“计算几何学”等，另外，也有一些概念和理论由于计算机的使用变得特别重要，即如算法的概念和离散数学等）。再者，计算机的使用并导致了数学观的重要变化，即如人们对什么是数学问题的“满意解答”的看法等。从而，总的来说，计算机正在改变整个数学（包括数学活动）的面貌，而这当然也会引起相应的哲学思考：什么是数学？或者说，究竟什么是数学的本质？

在笔者看来，以下的事实也许最为清楚地表明了这种由于计算机所导致的变化的深刻性和重要性：一些自称为“实验数学家”的新潮数学家现正试图创立一种新的作数学的方法，即主要通过计算机实验去作出新的发现。由于所说的方法是与传统的作法很不一致的：“传统数学家设想证明，实验数学家设计实验；传统数学家用手进行繁复的计算，实验数学家把例行的计算交给计算机去快速地完成；传统数学家所作的例行推导和证明许多也可以交给计算机完成”——因此，在这些数学家看来，计算机正在改变数学的性质：数学正在成为一门“实验科学”。[18]

综上可见，计算机科学的发展正在对数学哲学的现代研究发挥十分重要的影响，而且，可以相信，随着时间的推移，这种影响的程度将会不断得到加强。从而，总的来说，我们在此看到了关于“能动作用”再这一发展模式的又一实例。

4结束语

卡尔纳普(R.Carnap)在其《思想自述》中曾经这样写道：“倘若有谁对那种依据传统的学术界线划分而属于不同的学科领域之间的关系感兴趣，那么，他肯定不会如他自己所期待的那样，被当作学科之间的桥梁建造者而受到欢迎，相反，他将被双方同时视作局外人和令人生厌的入侵者。”([9].p.11)由于以上的讨论显然即已表明这种态度是错误的（事实上，卡尔纳普本人的工作也已清楚地表明了“交叉研究”的积极意义），因此，现在确是改变这种态度的时候了。

【参考文献】

[1]Grosholz,E.R.,1981,WittgensteinandtheCorrelationofLogicandArithmetic,Ratio,23.

[2]Grosholz,E.R.,1985,TwoEpisodesintheUnificationofLogicandTopology,BritishJournalforPhilosophyofScience,36.

[3]Grosholz,E.R.,1991,GartesianMethodandtheProblemofReduction,Oxford.

[4]Crowe,M.1975,Ten''''Laws''''concerningPatternsofChangeintheHistoryofMathematics,ReprintedinD.Gillies,1992.

[5]Mehrtens,H.,1976,T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionPaperonthe‘NewHistoriograph’ofMathemtics,ReprintedinD.Gillies,1992.

[6]Dauben,J.,1984,ConceptualRevolutionsandtheHistoryofMathematics:TwoStudiesintheGrowthofKnowledge,ReprintedinD.Gillies,1992.

[7]Tymoczko,T.,(ed.)1985,NewDirectionsinthePhilosophyofMathematics,Birkhauser.

[8]Lakatos,I.,1976,ProofsandRefutations,CambridgeUniver.Press.

[9]Carnap,R.,1963,IntellectualAutobiograph,inThePhilo-sophyofRudolfCarnap,ed.byP.A.Schilpp.

[10]Turing,A.M.,1937,OnComputableNumbers,withanappl-icationtoEntsheidungsproblem,reprintedinTheUndicidable,ed.byM.Davis,Raven,1965.

[11]Hahn,H.,Neurath,O.&Camap,R.,1973,TheScientificCo-nceptionoftheWorld:theViennaCircle,pany.

[12]Gillies,D.A.,(ed.)1992,RevolutionsinMathematicsClarendonPress.

[13]Gillies,D.A.,1996,ArtificialIntelligenceandScientificMethod,OxfordUniver.Press.

[14]Zheng,Y.（郑毓信），1990,FromtheLogicofMathemat-icalDiscoverytotheMethodologyofScientificResearch.Programmes,BritishJournalforPhilosophyofScience,41.

[15]郑毓信：“数学哲学中的革命”，《哲学与文化》（台湾），1995年第8期。

[16]郑毓信：“维也纳学派与数学哲学”，即将刊出。

[17]郑毓信：“科学哲学对于数学哲学现展的重要影响”，即将刊出。

[18]胡作玄：“计算机对数学的影响”，《科学、技术与辩证法》，1992年第6期。