讨价还价综合研究

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编者按：本论文主要从完全信息讨价还价；不完全信息下的讨价还价等进行讲述，包括了纳什讨价还价、有限期轮流出价、无限期轮流出价、低效用买方很多的情况、讨价还价是博弈论中动态博弈的一种情况，它包括完全信息讨价还价和不完全信息讨价还价等，具体资料请见：

［论文关键字］博弈论，讨价还价，博弈树

［论文摘要］本文阐述了博弈论在讨价还价方面的应用理论。主要在完全信息与不完全信息下，进一步针对不同的情况，综合地介绍讨价还价理论模型以及应用。

现实经济中充满了“讨价还价”的情形，大到国与国之间的贸易协定，小到个体消费者与零售商的价格商定，还有厂商与工会之间的工资协议、房产商与买者之间关于房价的确定、各种类型的谈判等等。这实际上是两个行为主体之间的博弈问题，也可以把讨价还价看作为一个策略选择问题，即如何分配两个对弈者之间的相互关联的收益问题。讨价还价作为市场经济中最常见、普通的事情，也是博弈论中最经典的动态博弈问题。

一、完全信息讨价还价

（一）纳什讨价还价

假设讨价还价主体为两个人：小张和小王，二人共同努力完成了一个项目并获得收益10000元，现在二人将针对每个人将获得多少而展开讨价还价博弈。为解决此类问题，纳什则做出了一系列研究并得出纳什讨价还价解。当达不成协议时，参与双方可以有不同的效用水平，而且效用函数可以是分配比例的非线性函数。

（二）有限期轮流出价

1、无贴现

假设条件：回合T为奇数（设T=3），小王先出价。由于回合数为奇数，对于小张来说，接受或拒绝没有差异，因此所有的均衡都是弱的。这些均衡结果只决定于小张最后决定接受的时间。因为在奇数回合中，小王享有最后一期的出价权利，当他要求得到全部收益时，即使小张拒绝，小张仍然一无所获，小王则获得全部收益。若此博弈只有一轮，那么小张根本没有机会提出反驳意见。现在假设小王仍然先出价，但是回合数为偶数时，博弈的结果就是小张将得到全部收益。在此例中，很明显看到一个最终行动者优势的存在，这就是后动的博弈优势。

2、有贴现，且贴现对等

有贴现的情况就是讨价还价每多进行一个回合，由于谈判费用和利息损失等，双方的利益都要打一个折扣。假设条件双方折扣率均为σ（0<σ<1），回合数T=3。

对于此种三回合情况可用下面方式加以描述：第一回合：小王的方案是自己得X1，小张得10000-X1。小张若接受，二人收益分别为X1和10000-X1，谈判结束。如果小张拒绝，则开始第二回合谈判。第二回合：小张的方案是小王得X2，自己得10000-X2。小王若接受，二人收益分别为σX2和σ(10000-X2)，谈判结束。如果拒绝，则开始第三回合谈判：小王自己得X，小张得10000-X，此时小张必须接受，最后二人的实际收益分别为σ2X和σ2(10000-X)。这三回合中双方所提出的X1、X2和X都是0到10000之间的任意金额，因此可以认为由于X1、X2和X都有无限多种，所以这个讨价还价博弈是一个无限策略的动态博弈。

3、有贴现，但不等

假设小王的折扣率为σ1，小张的折扣率为σ2，0<σ2,σ1<1并且两人知道对方的折扣率，回合数T=3。

此类博弈和贴现相等情况是很类似，用逆推归纳法来分析这个博弈。第三回合：知道双方的收益分别为σ12X和σ22(10000-X)。第二回合：小张在第二回合会出能让小王接受的，也是可能使自己得益最大的X2，应满足使小王得益σ12X=σ1X2，即X2=σ1X，则小张得益就是σ2(10000-X2)=σ2(10000-σ1X)，由于0<σ2,σ1<1，所以σ2(10000-σ1X)>σ22(10000-X)。第一回合：小王只要令10000-X1=σ2(10000-σ1X)，即X1=10000-σ2(10000-σ1X)即可。这样第一回合与第二回合小张的得益相同，而小王的得益X1=10000-σ2(10000-σ1X)，比第二、三回合得益更大。

因此这个博弈，小王会在第一回合出价X1=10000-σ2(10000-σ1X)，小张会接受，最终二人得益分别为X1=10000-σ2(10000-σ1X)和σ2(10000-σ1X)，这个就是这种有限奇数次讨价还价有贴现情况的均衡解。

（三）无限期轮流出价

无限期讨价还价博弈由于时间会持续很久，所以折扣是肯定会存在的，所以直接讨论有贴现情况。

1、对等贴现

此情况逆推法无法应用。解决方法如下：

先假设整个博弈有一个逆推归纳解，小王和小张分别得益X和10000-X，即小王在第一回合出价X，小张接受。夏克德和萨顿曾提出无限期讨价还价中，从第三回合开始还是从第一回合开始结果都是一样的，本文直接引用这一结论来解决问题。所以根据这个理论，上述逆推归纳的解也应该是从第三回合开始的博弈的结果。即第三回合也是小王出价X，小张接受，而且这个结果也是最终的结果。

2、不等贴现

假设小王的折扣率为σ1，小张的折扣率为σ2，0<σ1,σ2<1。

小王想分得X1份额，并想使X1最大化，但他得考虑到小张，若X1过多而遭拒绝，则他的愿望就成为泡影。所以小王揣测将出价给小张X2。在第一回合讨价还价中，小王要保证给小张的10000-X1不小于他还价后的10000-X2贴现到现在的价值，这时小王可根据小张的X2和观察可解出X2，故先要价X1。之后第二轮讨价还价开始，小张出价为X2，而且也考虑到小王会还价，所以他也要保证小王将再出价贴现为现值不小于小张的还价，又要尽量使自己的收益最大化，这时他可根据推测的X3求出X2，所以出价X2。小王第三回合再出价时，就会重复开始的过程，所以由此可知小张获得的收益与自己的折扣率呈增函数关系，而与对方的折扣率呈减函数关系。这就是Rubinstein针对此问题曾提出的解。

3、无贴现、有成本

现假设小王或小张每个回合出价时贴现变为了成本，设为C1和C2，且C1=C2=C。

（1）C1这种情况下回合期限越长，小张的损失就会越大，但是除了会降低二人总体收益之外，并不会改变二者的博弈地位。此时，博弈可以看作是静态的。因为不论经过多少回合，在二人看来，博弈与初期相同。仍然用逆推归纳法，在第T回合若是小张出价分给小王X，则在第T-1回合，小王就会出价分给小张10000-X-C2，而自己保留X+C2；在T-2回合，小张则会分给小王X+C2-C1，自己保留10000–X-C2+C1。依次类推，不断前推结果是：小王可以得到比小张高任意γ(C2-C1)倍收益。因此博弈一开始，小张就会放弃讨价还价接受0分配。

（3）C1>C2

小王作为先行动者，他的份额受限于成本C2，因为他明确知道小张会在第二回合出价为自己保留10000，所以他会在第一期提出自己分配C2，小张得益为10000-C2，这样小张就会接受，而不会进入到第二个回合了。

二、不完全信息下的讨价还价

Fudenberg和Tirole二人则对这类问题作了研究。现假设有一个买方和一个卖方，买方类型有两种：B100和B150，其中买方为B100的概率为γ，为B150的概率为(1-γ)。博弈的过程是，卖方先出价P1，买方接受则博弈结束，买方拒绝则卖方再出价P2，买方再决定是否接受。

（一）低效用买方很多的情况

先假设γ=0.5，即买方是低效用者的可能性很高；σ=0.9。第一回合，B100类的买者在P1≤P(B100)1=100时，就接受这个价格；B150类的买者在P1≤P(B150)1=105时接受。第二回合，B100类的买者在P2≤P(B100)2=100时，就接受这个价格；B150类的买者在P2≤P(B150)2=150时接受。

卖方在非均衡路径的信念是：如果买方拒绝P1，则他是B100类买者的可能性为γ。均衡的结果是，买方出价P1，并且买方接受。这个均衡就是完美贝叶斯均衡。卖方知道，即使105，他仍然可以将货物卖给B150类型买者。但是如果他这么做，就有可能在第一回合卖不出去，他将延期得到收入。

因为100>105(1-γ)+100σγ=97.5，即卖方更愿意拿到稳定的现期收入100，而不愿意在现期收入105和将来的100之间碰运气。

（二）低效用买方很少的情况

1、均衡（混合策略下的分离均衡）

假设γ=0.05，即买方是低效用者的可能性不高；σ=0.9。博弈结论是分离均衡将出现，对应的均衡策略为混合策略。

第一回合P1=150，B100类型的买者会在P1<100时接受之；B150类型的买者以概率m(P1)接受P1，在第二期，如果卖方认为买方类型为B100的概率小于1/3，则P2=150；否则P1=100。B100买方当P2<100时接受之，B150买方当P2<150时接受之。均衡结果为：P1=150，有时会被B150买方接受，P2=150，被B150买方接受，B100买方则不接受任何一种出价。

第二期的策略十分简单，买方当价格低于效用时则接受，卖方在稳定的100收益，以及在0和150的赌博间权衡。当100=0*Prob(B100)+150*(1-Prob(B100))……⑤时两者等价。由此得出Prob(B100)=1/3。如果无人接受第一期的出价，第二期的信念将是Prob(B100)=γ，这里假设为0.05，因此第二期的价格将会是150。第一期的策略十分复杂。B150在第一期没有采用接受P1=150的纯策略。因为如果他一味接受，卖方看到有人拒绝P1=150就能断定其类型为B100，因而在第二期降低价格。预期到价格会下降，B150就会在第一期拒绝P1=150，同前面提到的降价理由产生矛盾。

2、非均衡路径上的行为

以上论述只涉及了分离均衡的一部分。完整的描述必须针对博弈数每个节点，在给定前面的情况下，明确每个参与者的行为方式。其中包括一开始就偏离均衡的非均衡路径的情况，例如P1=140。若卖方出价P1=140，可供选择的非均衡性为范围是很广的。

先考虑卖方在第一期出价P1=140的情况。与P1=150理由相同。均衡不可能采取纯策略。非均衡子博弈上的均衡策略是，B150在接受和拒绝之间建立混合策略；卖方在P2=100和P2=150之间建立混合策略。与均衡路径不同，卖方必须建立混合策略。否则，买方将强烈偏好于接受140，而不去等150。而卖方愿意混合的前提是，他相信买方属于B100的概率恰好是1/3。从而在卖方的策略中，m(150)=0.89。设在卖方混合策略中，P2=100的概率为μ。它必须满足条件，使得买方在接受与拒绝之间的效用无差异，即150-P1=0.9μ(150-100)+(1-μ)*0……⑦，解得μ=10/3-P1/45，或者当P1=140时，μ=0.22。

四、总结

本文主要讨论了讨价还价博弈的几种情况解。讨价还价是博弈论中动态博弈的一种情况，它包括完全信息讨价还价和不完全信息讨价还价。本文简要、系统的介绍了讨价还价的相关模型。作为博弈论的一个重要分支，讨价还价理论在现实生活中有着广泛的应用领域，并且理论的实际应用也会进一步促进理论的发展。