金融数学

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摘要：简述了金融数学理论的若干前沿问题和金融数学理论未来发展趋势的展望﹑金融数学理论发展面临的新挑战。

关键词：金融数学；美式期权；利率；衍生证券

1金融数学的若干前沿问题与展望

“B-S模型”对市场做了许多理想的﹑不切实际的假设。以默顿为代表的许多学者对“B-S模型”进行了各种各样的推广。推广主要集中在对模型所依赖于成立的一系列假设条件的修正上。例如允许利率是时间的函数或随机变量（如默顿的随机利率模型）；允许股票在衍生证券的有效期内支付红利；存在交易费用；对于标的资产，也推广到其他种类，如外汇﹑期货﹑利率等。这些推广无疑是重要的，但仍有许多问题亟待解决。例如美式期权问题﹑利率的期限结构问题﹑市场的波动性与突发事件问题以及市场的不完全性和信息不对称问题等都是当前金融面临的重要研究课题。

1.1美式期权﹑利率的期限结构问题

在市场交易的期权大部分是美式期权。对于美式期权的定价，问题要比欧式期权定价困难得多。因为美式期权可以在到期前的任何时刻执行，这就牵涉到期权的最佳执行时间问题。一般情况下期权的最佳执行时间是一个十分复杂的问题，至今还没有得到很好地解决。如果应用偏微分方程的方法来讨论美式期权的定价，对应的偏微分方程的问题将变为“自由边界”问题，在数学上是一个有趣而又困难的问题。一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，因而只能用数值算法或解析近似解，如蒙特卡罗模拟法﹑数图法﹑有限差方分法等。除了美式期权外，还有很多新型金融产品，其定价也极具挑战性。

在“B-S模型”中，利率是给定的常数。实际上，利率的变化是相当复杂的，不同性质﹑不同到期日的证券，利率的变化规律互不相同，这也就是利率的期限结构（TermStructureofInterestRates）。它通常可以用收益率曲线的形式来表示。利率的期限结构包括三种理论：市场预期理论﹑市场分割和投资偏好理论﹑流动性偏好理论。这些理论分别从不同的角度对利率的不规则变化作出了解释。近年来由于利率风险的日益突出，利率期权等利率衍生证券（InterestRateDerivatives）得到了迅速发展，利率的期限结构模型更显重要。利率的期限结构的数学模型不断提出。著名的有Vasicek(1977),Cox-Ingersoll-Ross(1985)和Hull-White(1990)等短期利率模型以及Ho-Lee(1986)和Heath-Jarrow-MorrtOn(1992)等长期利率模型。比如，Vasicek模型假设短期利率r(t)在风险中性概率下满足Ornstein-Uhlenbeck过程:(dr(t)=a(b-r(t))dt+σdwt)

其中(a,b,σ)为正常数，(wt)为P下的一维标准Brown运动，该模型是第一个单因子模型，许多模型（如Cox-Ingersoll-Ross,Hull-White等模型）都是该模型的推广。现在比较流行的是多因子模型（如高维平方高斯马尔科夫过程）。Ho-Lee和Heath-Jarrow-Morton模型则是直接用长期利率模型来描述利率的期限结构。

1.2市场的波动性与突发事件问题以及市场的不完全性和信息不对称问题

金融市场的波动现象，一般可以归结为随机变量，以股票价格的波动为例。我们知道，股票价格的波动率是刻划未来股票价格变动的一种最关键的变量。在“B-S模型”及其大部分推广中，股票价格的波动率为常数，这在实际中是不合理的。为更准确地描述股票价格变化的规律，有几种重要的因素必须考虑：股票价格的波动率对股票价格的依赖性；波动率与其它其它随机变量的依赖性；股票价格可能的突然跳动（象1929年或1987年的股票市场崩溃那样的事件）。随机波动率模型能够体现上述某些因素，目前受到极大的重视。这类模型（如Hull-White模型）假设波动率服从某一随机过程，比如几何布朗运动等等。在离散时间情形，自回归条件异方差（AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,ARCH)模型是目前最常用的模型之一。它的种种推广，如GARCH,EGARCH模型等。这些模型都是将原来分析时间序列的方法用来分析波动率。

对于重大金融震荡，是否可以研究一种至少能解释其若干特征的严格的定量描述呢？突发事件是“小概率事件”。基于传统的平稳随机过程的预测理论完全不适应。传统理论或许能解释市场在95%的时间里发生的情况。然而，如果人们承认突发事件就包括在剩余的5%的话，那么这个理论所描述的图景就没有反映实际情况。突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响，像1997年的东南亚金融危机，就给一些国家造成了巨大的损失。现在有些研究人员认为，描述海岸线形状和宇宙星系模式的分形理论可以解释股票价格如何疯涨与暴跌。分形和多分形的理论是本世纪最杰出的数学成就之一。分形和多分形的目的并不是要准确地预测未来，但它们确实常常是市场风险的更切合实际的描述。金融系统由于其多因素性﹑非线性和不确定性而显得尤为复杂。金融系统的复杂性以及对突发事件的研究是金融数学的重要课题。

现实的证券市场是不完全市场。这常常表现为市场中的证券和股票投资组合是受到限制的。例如，不准卖空股票﹑不准贷款炒股﹑限制交易数量等。达菲（D.Duffie）等人在不完全市场的一般均衡理论方面作出了重要工作。他们的工作从理论上证明了金融创新的合理性和对提高社会资本资源配置效率的重大意义。另外，在现实的市场中，参与的经济人掌握的信息是不对称的（即信息不互通﹑掌握的信息不一样）。在信息不对称情况下，问题主要涉及到经济人之间的相互对策。由于不对称信息刻划的困难，参与的经济人的信息层次往往很多，问题的困难性可想而知的。数学处理就更为困难。

3金融数学研究面临的新挑战

长期以来，人们用以描述金融经济的数学模型从本质上来说只有两类：一类是牛顿（Newton）的决定论模型，即给定初始条件或者状态，则金融经济系统的行为完全确定，第二类是爱因斯坦（Einstein）的随机游动模型或者布朗（Brown）运动模型。简单地说，即确定性模型和随机性模型。确定性状态和随机性状态也被认为是两种对立的状态。同时，所用模型的数学形式也基本上是线性的，或者存在非线性也是假设金融系统运行在线性稳定而加以一阶线性化处理，这些似乎成了一种传统和定式。尤其是近30多年来，金融界已分成两派，一派是技术分析学者，相信市场遵从有规律的周期性循环；而另一派即定量分析学者则认为市场不存在周期性循环。最近的研究利用物理学中开发出的方法来分析非线性系统，认为真实情况介于两者之间。这样，金融数学至少面临下列四个问题亟待解决。

首先，对金融经济现象的变与动的直觉三性（随机性，模糊性，混沌性）进行综合分析研究，已确定从此到彼得过渡条件﹑转换机理﹑演变过程﹑本质特征﹑产生结果以及人们所采取的相应的金融对策，尤其是货币政策。

其次，对以信用货币为核心的三量（货币需求量﹑货币共给量﹑金融资金流向流量）进行综合分析研究，对货币均衡和非均衡的合理界定提供正确的金融理论以及数学模型，为改善社会总量平衡关系将对财政﹑金融﹑物质﹑外汇四大平衡提供依据。

再次，对支撑现代金融大厦的三大支柱即三率（利率﹑汇率﹑保率﹑扩至经济领域还包含税率﹑物价综合指数）进行综合分析研究，为制定合理的三（五）率体系提供符合实际的金融数学模型支撑。

最后，对分别以生产力要素选择，地区或部门资源配置，综合金融经济指标为研究对象的三观（微观﹑中观﹑宏观）进行综合分析研究，以便将其成果更充分地更广泛地更方便地应用于金融经济领域。（上述问题简称为“四个三工程”）随着社会主义市场经济的建立和发展，通货膨胀时有发生和加剧，还会有新的更复杂的金融问题需要我们去研究，去探讨，去解决。

参考文献

［1］MertonR.C.,Continuous-TimeFinance.BlackwellPublisherInc.1996.

［2］KaratzasI,ShreveSE,MethodsofMathematicalFinance,NewYork:SpringerVerlag,1998.