投保和理赔
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论文摘要：博弈论与保险业有着密切关系。本文试图用博弈论的知识,建立一个关于投保与理赔的博弈模型,来解释保险人与投保人间的博弈现象。最后，对模型进行了改进。
1前言
当今社会上，许多人在解决了吃穿住行的基本问题之后，开始为自己的未来着想。随着保险市场规模继续扩大和观念的改变，人们的保险意识越来越强烈。越来越多的人选择不同的险种进行投保。对于保险公司来说，投保人数越多，出险的机会就越大，同时，也要承受更多的被保险人的逆向选择的风险。所以保险人在选择承包之前，先对投保人进行审核，如果投保人事故发生可能性超出了一定范围，保险人将拒绝承包。那么，当投保人出险的概率是多少时，保险人才会承保呢，保险人应该怎么规定限额，使得投保人投保之后，依然选择尽可能地避免损失发生。本文从博弈论知识出发,建立一个投保与理赔博弈模型,来找出上述所说的概率。
2投保与理赔博弈模型
2.1模型简介
在模型建立之初,为了分析的精确和方便,我们需要建立几个假定条件:
2.1.1假设投保人和保险人都是理性的，并且不考虑信息不对称问题，如逆向选择问题；
2.1.2假设被保险人发生事故后，必定向保险人索赔，而保险人必须照约定金额赔偿给被保险人；
2.1.3每个投保人都有一个可接受承担损失的上限。投保人不投保,心理会产生负担,假设这个负担会给他造成的损失，该损失为这个投保人的可接受承担损失的上限，并且保险人知道，只要投保人投保，他就是不愿承担这个损失，即保险人事先大概知道投保人的风险意识。简单起见，假设这个上限跟投保人的风险意识成反比，与损失额度成正比，并且投保人的风险意识保持不变；
2.1.4投保人在投保时要根据保险人要求递交自己的一些情况，假设投保人递交的这些情况真实，并且保险人根据这些情况判断投保人发生损失的概率，即保险人事先知道投保人发生损失的概率；
2.1.5只要投保人索赔,保险人将根据损失进行赔付。由于所有的数据都是事先知道的，并且保险人只有在投保人投保之后选择承保或不承保,被保险人只有在承包后在会像保险人索赔,保险人也才会理赔（一个参与人在决策之前知道的事情必须出现在参与人的决策结之前），即这个博弈树的信息集都是单结的，因此，这是一个三阶段完美信息博弈，可以使用逆向归纳法。
这个博弈有两个参与人，投保人T与保险人B。行动顺序如下：（1）投保人或者向保险人提出投保请求，保费总额为m，保险金额为M0，或者选择风险自留；（2）如果投保人提出投保要求，保险人将对投保人提供的信息进行审核，如果信息真实并符合保险要求，那么保险人将承保该风险，手续费为c，如果信息不真实或者不符合保险要求，那么保险人将拒绝承保，设投保人事故发生的概率为p，如果投保人没有提出投保要求，保险人不会承保该风险；（3）在保险期间，投保人有可能发生事故，造成损失M，如果保险人承保了该风险，，如果M≤M0，保险人将赔偿投保人的损失M，如果M>M0，那么保险人只赔偿M0，理赔费用为v，如果投保人不投保，p1为他的风险意识，那么心理负担造成的损失为。
针对以上模型，我们使用逆向归纳法求解。经过分析，我们可以得到得益函数(U,V)，其中U、V分别为保险人和投保人的得益。
（1）当M≤M0时
第三阶段，对投保人来说，如果保险人承保了他的风险，那么即使他发生损失，保险人也会赔偿，所以，投保人无论发生损失和不发生损失的得益都相同，均为-(c+m+n)。如果投保人选择投保而保险人不予承保，或投保人不选择投保，由于，所以他都会努力使事故不发生。
第二阶段，对于保险人来说，如果投保人投保，那么只要m+c-p(M+v)>0，即（发生损失的可能性小于），那么保险人将承保该风险（如果，保险人不会承保，因为承保对他没有利益可言），否则保险人将不承保该风险。如果投保人不投保，那么无论投保人发生损失与否，都跟保险人没有关系。
第一阶段，对于投保人来说，如果，那么只要已超出了投保人可接受的范围），那么投保人选择投保（如果，投保人也会选择投保以求安心），否则，投保人会选择风险自留。
所以，这个模型的结果有三种情况。第一种情况是且，那么投保人投保，保险人承保，投保人发生或者不发生损失。第二种情况是，且，投保人选择投保，但保险人拒绝承保，投保人将尽量使事故不发生。第三种情况是，那么，无论，投保人均选择风险自留。
2）当M>M0时
图二
第三阶段，对投保人来说，无论保险人是否承保他的风险，他都会努力使事故不发生。
第二阶段，对于保险人来说，因为m+c>0，所以如果投保人投保，那么保险人将承保该风险。
第一阶段，对于投保人来说，只要即已超出了投保人可接受的范围），那么投保人选择投保（如果，投保人也会选择投保以求安心），否则，投保人会选择风险自留。
所以，这个模型的结果有两种情况。第一种是，那么投保人投保，保险人承保，投保人不发生损失。第二种情况是，那么，投保人均选择风险自留。
2.2模型结论
一般来说，每个投保人的风险意识是不同的，只要超出了他可以接受的范围，那么投保人均选择投保。对于保险人来说，只要投保人的损失的可能性（与保险金额成反比，与保费成正比）在他的可接受范围，他会选择承保。如果损失全由保险人承担，那么对投保人来说，损失是不是发生都无所谓；当投保人要承担一定损失时，他们会尽可能的规避。
通过以上分析，我们可以知道，（1）保险人的承保的可能性与保险费成正比，与保险金额成反比。因此，如果投保人预期的损失很大，要想保险人承保，就必须缴纳比较高的保险费；（2）如果投保人发生的损失全由保险人承担，那么对于投保人不会尽量采取措施，规避风险。所以，保险人选择和投保人成比例承担风险或规定一个保险金额上限是明智的决定。
3模型改进
根据模型的假设5，只要投保人索赔,保险人将根据损失进行赔付。然而现实生活中，存在问题，比如投保人故意隐瞒一些影响保险人决策的重要信息，即逆向选择，或者造成事故的原因是在除外责任之列等等，保险人将拒绝赔付。这里我们对模型进一步拓展。那么它就是一个五阶段完美信息博弈。
P2为投保人诉讼时赢的可能性（假设如果投保人理由正当，那么他赢的可能性P2=1），l为诉讼费用，l0为保险人的抗辩费用，其余符号同上。（只考虑M>M0的情况）
第五阶段，对投保人来说，只要p2pM0-pl>0，即（即赢的可能性比较大，超过了），那么投保人选择起诉，否则投保人将放弃。
第四阶段，对保险人来说，如果，那么保险人将理赔，否则保险人不理赔。
第三阶段，对投保人来说，无论保险人是否理赔，投保人均选择不出险。
第二阶段，对于保险人来说，因为m+c>0，所以如果投保人投保，那么保险人将承保该风险。
第一阶段，对于投保人来说，只要已超出了投保人可接受的范围），那么投保人选择投保（如果，投保人也会选择投保以求安心），否则，投保人会选择风险自留。
所以，这个模型的结果有两种情况。第一种是，那么投保人投保，保险人承保，投保人不发生损失。第二种情况是，那么，投保人均选择风险自留。
4结束性评述
由于很多因素，比如说投保人的逆向选择，续保，都没有考虑进去，还有，保险人之所以承保，是基于大数定理的，所以模型还可以进一步改进。因此，把这个模型进一步改进，就能适合于分析投保人－保险人之间的博弈，这也正反映了博弈论与保险学的密切关系。
参考文献：
[1]张维迎.博弈论与信息经济学[M].上海三联书店，上海人民出版社，2004(11).
◇本文系江西省教育厅科学技术项目（2006-39）和江西省自然科学基金项目（0611082）
