概率统计在高温冻土研究中的应用
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几种常见分布函数及假设检验方法介绍
正态分布及其参数估计正态分布是生产研究中最常见、应用最广的概率分布之一，在数理统计中大多统计量只要样本容量n充分大，且符合独立、均匀小效应特征都近似服从正态分布。
对数正态分布及其参数估计对数正态分布在工程、金融、地质学等领域都有着广泛的应用，一般适用在众多相互独立的因素中有某个或某些因素起了比较突出的作用,但尚未起到决定性影响的分布规律分析当中。
Weibull分布及其参数估计Weibull分布常见于产品寿命和断裂力学问题中，它在结构可靠性理论、科学研究和工程分析中都占有重要地位。
假设检验对随机变量概率分布函数拟合检验的常用方法有近似法或假设法、A-D检验法和K-S检验法。3种方法分别在样本容量小于5，样本容量在5～13之间和样本容量大于12时使用。［11］通常所分析随机变量的样本容量都大于12，所以采用K-S检验法。
1强度及损伤统计本构
从20世纪30年代开始，国内外学者就对低温冻土的强度和本构关系展开了深入研究（在此不一一赘述），而对高温冻土研究较少。赖远明等［14］在温度为-0.5～-6.0℃下对含水率为30%～80%（超饱和）的冻结砂土进行了三轴抗压强度试验，研究了冻结砂土强度同含水率、温度的关系，并发现可用Mises屈服准则描述温度高于或等于-2.0℃时砂土强度的屈服情况。马小杰等［15］对不同温度（-0.3℃、-0.6℃、-0.9℃、-1.5℃、-5.0℃）、不同含水率的冻结黏土进行单轴无侧限抗压强度试验，发现高温-高含冰量冻结黏土在单轴压缩试验过程中应力-应变曲线有应变软化型和应变硬化型两种类型，分析得到当温度低于-0.9℃时，高温-高含冰量冻结黏土存在最不利含水率，该含水率状态下冻土抗压强度最小；当温度高于-0.6℃时，高含冰量冻土随含水率的增加，单轴抗压强度增大。经典土力学将土体在宏观上视为连续介质，但是从微观角度来看,冻土是多相多成分介质，土体具有显著的结构性，冻土在应力集中处会发生水分迁移和再分配、矿物位移和重组合，并过渡到宏观裂纹的微观裂缝的产生和发展，最终发生破坏。高温冻土处于剧烈相变区，结构缺陷更大，破坏时具有更强的不确定性。针对土体结构性特点，可将剪切带形成视为材料的结构强度损伤在加载过程中是连续的。［16,17］曹文贵等［18］借鉴国外研究结果，加入围压影响因素，将连续损伤理论和统计强度理论有机地结合起来，在国内较早地提出了一种岩石统计损伤本构模型,充分反映了岩石破裂的全过程,令国内损伤统计本构模型的研究取得了一定程度的突破。赖远明、李双洋等［19,20］将统计本构思路方法应用到高温冻土，利用3个不同温度下足量的单轴试验数据对高温冻土的弹性模量及强度概率分布进行对比统计分析，给出了不同可靠度下的冻土强度，然后又结合连续损伤理论和概率与数理统计提出了高温冻土的单轴随机损伤本构模型。高温冻土损伤不仅受自身缺陷影响，还受围压的影响。李清泽等［13］用大量三轴强度试验结果确定出了高温冻土强度分布概型,基于Drucker-Prager准则建立了高温冻土的三轴损伤统计本构模型，并将3个不同围压下的强度实验值同理论值进行了对比分析，发现提出的本构模型可以较好地拟合冻土三轴强度应力-应变曲线。他们的研究结果都表明正态及对数正态分布能较好地反映高温冻土强度方程参数概率分布规律，而威布尔分布能更好地描述强度分布规律。以上研究工作说明概率统计方法已经在高温冻土强度和本构关系中有了初步应用，并且得到了一些有借鉴性的研究结果。
2蠕变及长期强度
冻土力学中另一个重要课题就是依据实验数据建立冻土蠕变模型，预报冻土的长期变形和长期强度。［21］蠕变指的是在恒定荷载下变形随时间发展的过程。冻土蠕变过程可分为3个阶段：非稳定蠕变阶段、稳定蠕变阶段和渐进蠕变阶段。第3个阶段的出现和强度极限值有关，发展具有不确定性。通过人工冻土蠕变试验，可以研究冻土蠕变的规律，建立蠕变方程和长期强度方程，并预报冻土长期强度值。目前冻土的本构关系多集中在蠕变研究，以经验公式法为主。［22］马小杰等［23］对含水率为40%、80%、120%的高温-高含冰量冻结黏土分别在-0.3℃、-0.5℃、-1.0℃温度下进行了单轴压缩蠕变试验，求出了高温-高含冰量冻结黏土单轴压缩蠕变方程和长期强度方程的参数，试验表明高温-高含冰量冻结黏土单轴压缩蠕变过程具有衰减特征，在相同的温度条件下，同时刻冻土长期强度含水率40%时最大，含水率120%时次之，含水率80%时最小。刘世伟等［24］在青藏高原北麓河盆地多年冻土区用承台静载试验方法对高温-高含冰量多年冻土长期蠕变变形进行试验研究，研究发现温度变化是影响多年冻土蠕变变形的决定性因素，随着温度的升高，蠕变速率增大，反之减小，但现场蠕变变形和实验室得到的理论相符合度并不高，并指出多年冻土长期蠕变变形的发展对寒区工程结构的长期稳定性具有重大影响。长期强度是冻土受长期荷载达到的破坏应力临界值，它是寒区工程建设中地基和基础设计的基本依据，研究冻土长期强度工程意义巨大。［25］蠕变强度随时间发展而呈衰减趋势，拟合蠕变强度值和破坏时间关系曲线可得到冻土长期强度方程。其中，破坏瞬时是冻土从稳定蠕变过渡至渐进流动的时间，也就是说蠕变速率达到最小值的那一点。［26］可将破坏标准定为如下几种情况：对于非衰减型蠕变，破坏瞬时应和冻土从稳定蠕变过度至渐进流动部位相一致，当蠕变曲线出现拐点，即曲线二阶导数为零处，强度达到临界值；若短期内不出现拐点，可取应变值15%的时刻为破坏瞬时。而对衰减型蠕变冻土往往不会出现拐点，可用蠕变方程来预报冻土破坏的时间，同样取应变达到15%时刻为破坏瞬时。冻土的变形过程和强度降低现象是由于损伤积累造成冻土破坏的结果，由于高温冻土表现出更明显的流变特性，温度、应力等因素都会影响土体结构，破坏瞬时存在着一定的随机性。目前研究结果只对高温冻土长期蠕变变形和长期强度进行了定性分析或者只通过少量的试验数据来确定试验参数，而且预报超过试验期的长期强度方法，都是冻土长期强度方程的外推数据，存在着较大的不确定性。于是我们需要将概率统计方法引入到高温冻土的流变特性研究，以分析蠕变模型、长期强度方程参数分布规律，并确定出有一定可靠度的长期强度。［21］但由于高温冻土三轴蠕变试验时间较长，所需样本较大，很难进行足够数量试验得到统计所要求的样本数目。考虑到每个样品在相同条件下进行蠕变试验是相互独立事件，互不影响，而且理论上都服从同一种分布规律，所以可以考虑用组合方法扩大样本容量。在同一条件下对高温冻土进行n组蠕变试验，每组分别在m个荷载下进行加载，一组蠕变试验可得到m条蠕变曲线，用该组的一条曲线替换其他组相同荷载下的曲线，则可得到n组，将每组m条蠕变曲线依次同其他组曲线进行组合，可得nm组蠕变试验曲线簇。拟合曲线簇后可得到nm组蠕变方程参数，由加载强度值和蠕变破坏时间则可以绘出nm条长期强度曲线，从而求出nm个高温冻土的长期强度预测值。这样，就可以消耗较少的资源却可以分析出高温冻土蠕变模型、长期强度方程参数分布规律，并能给出具有一定可靠度的高温冻土长期强度值，为工程设计提供参考依据。
结论
（1）高温冻土力学性质极易受温度等外界环境的影响而发生巨大变化，具有较强不确定性和离散性。利用概率统计分析方法可对高温冻土力学参数的分布规律进行统计分析，并能给出具有一定可靠度的强度值，其在寒区工程中的广泛应用对优化工程设计，提高工程安全性具有重要意义。但到目前为止，国内外很多学者虽然对高温冻土力学性质进行了大量研究，但仍未能将损伤理论、概率统计理论、热力学理论等应用到冻土力学中提出全面而又准确的高温冻土本构方程、蠕变方程和长期强度方程来满足工程设计的要求。（2）由于高温冻土强度试验所需时间较短，可以获得大量数据来分析冻土本构方程参数和强度分布规律；而蠕变试验所需时间较长，在有限时间内很难获取足量样本对高温冻土蠕变特性和长期强度进行统计分析。文章提出一种方法，采用组合方法扩大样本容量，消耗较少时间便可以预测出具有一定可靠度的高温冻土长期强度。
作者：吴晓光单位：兰州大学土木工程及力学学院
