概率论与数理统计易混淆概念教学方法

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概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科，概率统计的思想与方法在社会各个领域及人们的日常生活中都有着广泛的应用，它是理工科各专业的必修课，学好这门课程显得非常重要.但该课程有概念多、公式多的特点，学习该课程时，学生普遍觉得难度大于其他数学课程.笔者结合自己几年来的教学实践，谈谈在该课程的教学中学生易混淆的几个概念，阐述它们之间的联系与区别，并探讨了这些概念的教学方法.

1几个易混淆的概念

基本概念的理解与掌握是学好一门课程的关键，尤其是概率论与数理统计这种概念多的课程.据多年的教学经验，学生易混淆的概念主要有：（1）不可能事件与零概率事件；（2）随机事件的互不相容与相互独立；（3）条件概率、无条件概率与交事件的概率；（4）区间估计与假设检验.

2教学方法的设计

对于以上易混淆的概念，在教学中，根据各概念的特点来设计教学方案，让学生明白他们之间的区别与联系，正确理解概念.

2.1从易混淆的原因入手

学生是学习的主体，在设计教学时，从学生的角度来分析问题，找到易混淆的原因，然后“对症下药”.以不可能事件与零概率事件为例来说明.不可能事件的概率为零，反之，如果某个事件的概率为零，它却不一定是不可能事件.根据是：在“连续型随机变量”这部分内容中，可以计算随机变量X取得某点x0的概率为零，而随机事件(X=x0)却不一定是不可能事件.可是学生往往不理解，经常产生这样的疑问：既然事件发生的可能性为零，为什么还可能发生呢？学生不理解的主要原因是对随机事件的概率这个概念的定义与功能缺乏准确的认识.事件的概率是对事件发生的可能性大小的数量描述，概率值大，就意味着事件发生的可能性大，反之，概率值小，就意味着事件发生的可能性小.在教学过程中，教师可利用概率的统计定义来解释这一问题.概率的统计定义是：在相同的条件下，重复做n次试验，事件A发生的频数为m，频率为mn，当n很大时，mn在某一常数p附近摆动，且一般来说，n越大，摆动的幅度越小，则数p称为事件A的概率.从这个定义，我们知道，随着n的增大，频率会稳定于概率.对于概率为零的事件来说，随着试验次数n的增大，其频率会在0附近摆动，这种事件可分成两类：一类是频率恒为零的事件，频率恒为零，说明不管试验多少次，事件总是不会发生，这类事件自然是不可能事件，另一类是频率有时为零，但不恒为零的事件，正是因为频率不恒为零，说明在试验中，事件发生过，只不过发生的次数极少，这种事件是几乎不发生，但又不是绝对不发生的事件.例如：测量某零件的尺寸，“测量误差为0.05mm”就是概率为零的事件，测量误差正好为0.05mm的情况虽然有，但是很少见.一旦学生理解了这两个概念，就不容易犯类似于“因为P(AB)=0，所以AB为不可能事件，从而A与B互不相容”的错误.

2.2应用身边的实例来区分概念

概率论与数理统计是与现实生活联系最紧密的数学学科，在教学中，从概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们生活密切相关而又有趣的实例来讲解基本概念，不仅能让学生很快地掌握概念而且能激发学生的学习兴趣，调动他们的学习积极性和主动性.条件概率是概率论中一个非常重要的概念，是教学中的一个重点和难点.学生在学习过程中容易将它与无条件概率、交事件的概率相混淆.设A,B为两个随机事件，P(AB)指的是A,B都发生的概率，是交事件的概率.P(A|B)是在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，是条件概率.而无条件概率P(A)指的是在没有任何已知信息的前提下考虑事件A的概率.在教学中，可通过抽奖这个生活中常见的实例引入概念.10张奖券里有两张是中奖券，现有10人依次随机从中抽取一张奖券，问第二人中奖的概率是多少？然后又提问：已知第一人中奖，此时第二人中奖的概率又是多少？从这个实例中引入条件概率的定义，让给学生初步了解条件概率与无条件概率的区别，然后再设计如下例题来巩固概念：例某班100名学生中有男生80人，女生20人，该班来自北京的学生有20人，其中男生12人，女生8人，从这100名学生中任意抽取一名，试写出P(A),P(B),P(AB),P(AB),P(B|A).解设事件A表示抽到的学生是男生，事件B表示抽到的学生是来自北京的.易知总的基本事件的个数是100，事件A所包含的基本事件数是80，事件AB是指抽到的是来自北京的男生，它所包含的基本事件的个数是12，所以P(A)=0.8，P(AB)=0.12，而P(A|B)=0.6，这是因为在事件B已经发生的条件下，样本空间发生了变化，样本空间变小了，此时总的基本事件数缩减为20，即为B所包含的基本事件数，而在此条件下，事件A所包含的基本事件数仅为12.类似可得，P(B)=0.2,P(B|A)=0.15.通过这个例子，不仅可让学生容易理解它们之间的区别，而且容易从中验证乘法公式：若P(B)>0，则P(AB)=P(A|B)P(B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(B|A)P(A).为接下来的乘法公式教学做铺垫.

2.3通过做实验来区分概念

抽象的概念理解起来比较难，但俗话说：眼见为实.通过实验的方式来区分概念，不仅可以让学生加深对所学知识的理解，还可以锻炼学生的动手能力.两个事件A,B互不相容指的是A,B不同时发生，即AB=覫，两个事件A，B相互独立指的是A，B中任一个事件的发生与否对另外一个事件发生的概率没有影响，即P（AB）=P（A）P（B）.学生在学习中，往往对他们之间的关系不清楚，容易将这两个概念混淆，事实上，相互独立是从概率的角度来说的，强调B发生与否对事件A发生的概率没影响，而互不相容是事件本身的关系，不存在同时属于这两个事件的样本点，强调两事件不能同时发生.这是两个不同属性的概念，他们之间没有必然的联系.但学生往往会用已建立起来的互不相容概念来理解相互独立，错误地认为相互独立的两事件是不可能同时发生的，因而是互不相容的.为了使学生不混淆，在教学中可以举例如下：有一个质量均匀的正四面体，其第一面涂红色，第二面涂白色，第三面涂蓝色，第四面同时涂有红，白，蓝三色，以H,B分别记抛一次此四面体，朝下那一面出现红色，白色的事件，则易知P（H）=P（B）=0.5，P(H|B)=P(B|H)=0.5，P(HB)=0.25，所以，P(B)=P(B|H),P(H)=P(H|B)，这说明：事件H,B相互独立，但是事件H,B可以同时发生，即HB≠覫.为了让学生进一步理解这两个概念.可布置课后作业，让学生自己去做一个这样四面体来做实验，记录事件H与B发生的频率，当试验次数充分大时，利用频率稳定于概率来验证结论.

2.4注重讲解概念之间的区别

统计推断的基本问题是参数估计和假设检验.学生在学完参数的区间估计和参数的假设检验后，发现这两个问题中有很多相似之处.比如：都要选用统计量，都要用到分位数等等，但又弄不明白他们之间的区别和联系，以及他们各自的适用范围和使用条件.事实上，它们都是基于样本信息来推断总体的性质，但他们之间又有区别.在教学中，教师要强调以下两点：第一，它们的目的不同，参数的区间估计解决的是根据样本估计未知参数的范围问题，参数的假设检验则是根据样本判断假设是否该接受还是拒绝的问题.第二，两者对总体的了解程度不同，进行区间估计之前不了解未知参数的有关信息，而假设检验对未知参数的信息有所了解，但做出某种判断无确切把握.在实际应用中，假如我们对未知参数有很多的了解，或掌握了一些非样本信息，这时，采用假设检验的方法合适，如果我们对未知参数除了样本信息之外无其它信息，则宜采用区间估计.

3总结

学生对基本概念，特别是一些易混淆概念的理解和掌握的程度直接决定了学生对该门课程的掌握程度.在教学过程中，教师巧妙设计各种教学手段及时讲解课程中容易混淆的概念，不仅使学生容易理解和掌握各个概念，而且可以让枯燥的概念学习变得有趣、丰富课堂教学.

作者：肖海霞 胡政发 喻方元 单位：湖北汽车工业学院理学院