案例教学法在数理统计教学中的应用

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摘要：作为研究随机现象、统计规律的重要数学分支，概率论与数理统计在社会生产、生活中发挥着重要的作用。然而在传统的教学理念下，概率论与数理统计教学普遍存在“重理论、轻实践”的现象。本文笔者将在充分结合概率论与数理统计学科特点的基础上，从具体教学案例出发，深入探究案例教学法在概率论与数理统计教学中所发挥的重要作用，旨在为促进概率论与数理统计教学改革与创新提供充足的理论依据与实践借鉴。

关键词：案例教学法；概率论与数理统计；教学研究；应用

作为研究社会随机现象、统计普遍规律的重要数学分支，概率论与数理统计的相关理论其方法被普遍应用于社会科学发展、生产生活及国民经济各个领域，从子弹的命中率问题、航天器的碰撞概率问题到硬币投掷问题、彩票中奖问题都需要用概率论与数理统计的相关内容进行分析和解答。正如法国数学家拉普拉斯曾所言：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题。”可见，概率论与数理统计在我们的生产生活中发挥着不可忽视的重要作用。这就需要高等数学中的概率与数理统计教学要充分结合本学科特点，在充分激发学生学习积极性和主动性的基础上，促进学生学习效率、学习质量、学习水平的不断提高，为他们用概率论与数理统计理论知识解决实际问题奠定扎实的基础。然而，我国当前部分高校的概率论与数理统计教学中普遍存在“重理论讲解、轻实践操作，重技巧应运用、轻数学思维”的现象，使学生花费大量精力学习概率论与数理统计相关理论知识后，即便是得到较高的书面分数，却很难在实际生活中应用所学知识灵活地解决实际问题，而无法达到学以致用的目的。这种传统的教学模式不仅不利于学生综合素质和全面能力的培养及提高，而且还会因为枯燥的课堂教学扼杀学生的学习兴趣、降低概率论与数理统计课堂教学的实效性。因此，新时代背景下的概率论与数理统计教学，应从学生的认知水平、实际情况出发，在理论与实践紧密结合思想的指导加强实用性教学。而案例教学法，即通过在课堂教学过程中引入有代表性的、学生感兴趣的、与课堂内容紧密结合的实际问题，实现对理论知识的分析和讲解。在概率论与数理统计教学过程中应用案例教学法，引导学生自主学习、探究学习、合作学习，在发现问题、思考问题、分析问题、解决问题的过程中，提高将概率论与数理统计应用于实际问题解决的相关能力。

一、案例教学法的特征及优势

案例教学法就是教师在课堂中通过引入与教学内容紧密结合的实际问题，并将其作为教学案例，引导学生参与案例分析和讨论，实现理论知识与生活实践的紧密结合，并促进学生发现问题、思考问题、分析问题、解决问题及将理论知识应用于生活实践等相关能力的不断提高。与其他数学课程一样，概率论与数理统计也具有理解起来难度高、理论内容丰富抽象、相关试题复杂多样等特征。基于这些数学学习特征，传统的教学方法不仅加大了教师的教学难度，而且也不利于教学效果的提高。这就需要教师积极的创新教学理念和教学方法，结合案例教学法激发学生的学习主动性和积极性，促进教学质量的不断提高，以最终获得理想的教学效果。在概率论与数理统计教学中应用案例教学，可以让学生在生动形象的实际问题中，加深对抽象、难懂理论知识的理解。此外，学生还可以在具体案例的讨论分析和探究过程中，获得更高的学习热情和兴趣，以最终促进学生学习质量和教师教学效果的全面提高。从教学的层面而言，案例教学法充分发挥了学生在课堂学习中的主体作用，有效地培养了学生的自主学习能力、合作学习能力、探究学习能力。因此，案例教学法是沟通概率论与数理统计理论知识与生活实际相联系的重要桥梁。

二、在概率论与数理统计教学中应用案例教学法需注意的问题

再好的教学方法都应该与教学内容相适应、与学生的认知水平、兴趣爱好相一致，案例教学法同样也要满足这些要求。因此，在概率论与数理统计教学过程中应用案例教学法需注意以下几个问题：

1、案例的选择

案例教学法的实施过程中，要特别注重对案例的选择。要选择与所学理论知识联系密切且难易程度适中、便于学生理解的案例。同时，在课堂教学中的应用的案例，还要具有一定的延伸性和拓展性，让学生一方面可以在生动有趣的案例中，提高学习热情；同时，也可以在经典案例的指引下，开阔思维、拓展视野。在概率论与数理统计的发展史上，有很多像“平分赌金”一类的经典案例。当然教师也可以根据专业背景、社会趋势的具体变化，审时度势地选择与教学内容紧密结合的案例，以为学生营造一个轻松、自由、和谐的课堂氛围，最终实现概率论与数理统计课堂教学的有效性的不断提高。

2、案例教学的具体组织在应用案例教学法时，教师要特别注意案例引入的时机和方法。教师要通过提出问题的方式，先为学生设下悬念，以调动起他们的学习欲望。然后，再带领新生开始了解和认识新知识，等他们对新知识有了初步的了解后，再结合之前案例中的问题，组织学生进行讨论、分析，自由发言。在学生讨论过程中教师要做好巡场指导和问题解决工作；在学生发表观点后，教师要及时地就发现的问题做深入的分析和解答，帮助学生建立其解决实际问题的具体思路和有效方法。在概率论与数理统计的教学过程中，应用案例教学法的教师要特别注重对课堂时间的整体把握，要把握好案例讨论和观点表达的时间，要充分结合多媒体教学方式，以声音、图像、视频等方式，将原本枯燥无味的理论知识形象生动地展示出来，为学生进一步研究和深入探讨奠定基础。

三、案例教学法的运用实例

在概率论与数理统计中，从每道例题到专题讨论都可以使用案例教学法。下文笔者将结合几个具体案例，对案例教学法在概率论与数理统计中的应用展开分析。结合经典的“平分赌金问题”，引入数学期望和古典概率的相关知识。

案例1: 保罗和德梅尔是两个赌技术相当的赌徒，现他们各出六个金币做赌注，赌前约定：谁先赢三局，就可以拿走所有的12枚金币。而已知共堵了三局，保罗一胜两负，但由于特殊原因要结束赌博，问如何分配这十二枚金币，才能达到最大程度的公平。在引入这一案例后，教师可以留给学生几分钟的时间用于思考和讨论，并表达自己的意见。根据学生的回答发现大部分学生是根据已经比赛的结果来对金币进行分配，即保罗可以拿到1/3（4枚金币），而德梅尓可以拿到2/3（8枚金币）。在同学们表达完自己的想法之后，教师可以引导学生对这一问题进行深入的探讨，来分析这种分法是否正确。教师引导学生思考如果再赌两局会有以下四种结果：德德，德保，保德，保保。前三种情况都是德梅尓先胜三局，那么他就可以获得12枚金币。只有最后一种情况是保罗先胜3局，可以得到12枚金币。因此，整体看来，德梅尔和保罗能分别获胜的概率为 和 ，那么该案例中金币合理的分配方法应该是，德梅尓得到 （9枚金币），保罗得到 （3枚金币）。接下来教师就可以接着这个案例再进步一步引出古典概率的相关理论知识。同时，从另一个角度而言，如果，引入一个随机变量 ，用来代表再继续赌两局后德梅尓所得，则 的取值为0或12，概率分别是 和 。因此，德梅尓的期望所得为： 。接下来教师就可以顺势引出的 期望值就是 可能值和其概率相乘的累加，并引出“数学期望”的相关概念。此外，概率论与数理统计中还有经典的“三门问题”，教师可以在教学过程中通过对“三门问题”的引用，以加深学生对概率统计原理和思想的认识及理解，促进学生运用知识能力的进一步提高。

案例2: 美国二十世纪70年代有一个电视节目中有三扇门，在这三扇门后面有且仅有一扇门有奖品，节目参与者可以在这三扇门中任意选择一扇门，主持人把另外两扇门中没有奖品的一扇门打开，然后问参赛者：“是否要换另外一扇门，还是坚持选择最初的那扇门。”这时大部分人凭直觉认为，剩下两扇未被打开的门中，有奖和没奖的概率都是50%，因此没有必要再做改变。然而用概率论的相关内容进行分析却会得出相反的结论。原因是在最初参与者进行选择时，能选中有奖门的概率为 ，其余两扇门的中奖概率是 。然而当主持人打开确定没有奖品的门之后， 的概率都集中到另外一扇参与者没选的门上，而不会与参与者最初所选进行二次概率分配。也就是说如果参赛者能坚持最初的选择，那么中奖概率仅为 ，而如果参赛者改变选择，中奖概率为 。因此，主持人打开一扇门之后，如果参赛者改变最初的选择，则会提高中奖概率。

参考文献：

【1】谢安，浅析概率论与数理统计课程教学改革【J】，统计教育2005（04）：331-334.

作者：帕提古丽·木沙 米合甫孜·胡达拜地 单位：和田师范专科学校数学与信息学院