概率论与数理统计高效课堂探究

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［摘要］概率论与数理统计是理工科相关专业的一门必修课。针对传统的教学模式，结合雨课堂采用线上线下结合的教学模式，引入实例到课堂，提高学生学习兴趣和积极性，培养大学生利用概率统计思想解决实际问题的能力。

［关键词］雨课堂；线上线下；概率论与数理统计；贝叶斯公式

从2020年2月初开始，全国很多学校在线教学，让学生居家学习，使互联网教学遍地开花，从而线上线下教学相结合，使得传统的课堂得到创新。让我们看到互联网进入课堂，改变了我们的教学方法，增加了学生学习的积极性，提高了学习效率。本文以概率论与数理统计为例。

一、概率论与数理统计的教学现状

传统的课堂教学都是老师讲，学生学，再去做作业。线上线下教学的开展，很多老师打破了传统的教学方法，重新调整了教学顺序，把“先教后学”，改为“先学后教”的教学方法。让学生先在原有资源或者网站学习，教师PPT和教学资料、试题到雨课堂，学生先去预习，然后教师根据学生情况有针对性地讲解，课后再利用线上答疑。概率论与数理统计线上线下教学和大数据实例到课堂在国内还处于积极探索的阶段，概率论与数理统计线上线下教学和大数据实例到课堂的课程体系还没有被充分地重视和发展。文章以概率论与数理统计课程的贝叶斯公式为例进行课程设计。

二、课程设计

（一）做好课前设计和构思

以雨课堂上一节课为例进行设计。

（二）教学过程设计

以贝叶斯公式为例进行课程设计1.引入思政元素我国著名的数学家彭实戈教授在非线性数学期望理论方面做出了巨大贡献，他建立了动态非线性数学期望理论：g-期望理论。这一期望是研究金融数学的非线性动态定价问题以及动态风险度量问题的重要工具，经常被应用到金融市场中。许宝騄教授在概率论与数理统计这门课程中做出了重要的贡献，是我国概率论与数理统计的开拓者。在多元分析、参数估计理论、假设检验理论等方面许宝騄教授都取得了卓越的成就，成了世界公认的多元统计分析的奠基人之一。通过这些名人事迹，让学生了解概率论与数理统计课程发展的历史以及取得的成绩。了解我国的数学在历史中的地位，增强民族自豪感和荣誉感，增加学生的学习兴趣。2.贝叶斯定理全概率公式是其中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。全概率公式是将样本空间Ω来进行划分，划分为某一事件组A1，A2，A3，…，这个A1，A2，A3，…称为完备事件组，然后来计算某一事件B（B奂Ω）发生的概率；贝叶斯公式正好和全概率公式相反，要求推断出哪一种原因A1，使产生的B结果的可能性大，即已知某一事件B发生了，求完备事件组中某个事件A1发生的条件概率。贝叶斯公式和证明：设A1，A2，…An为Ω的一个划分，即A1，A2，…An互不相容，且∪Aii=1n=Ω，若P（B）>0，则对任意的B，则有P（Aj｜B）=P（Aj）P（B｜Aj）ni=1ΣP（Ai）P（B｜Ai），j=1，2，…n证明：由条件概率的定义得，P（Aj｜B）=P（AjB）P（B）上面式子分子用乘法公式，分母用全概率公式，得P（AjB）=P（Aj）P（B｜Aj）P（B）=nj=1ΣP（Aj）P（B｜Aj）得P（Aj｜B）=P（AjB）P（B）=P（Aj）P（B｜Aj）ni=1ΣP（Ai）P（B｜Ai），j=1，2，…n3.通过案例教学，学习贝叶斯公式的应用例1假设在一个喜欢戴口罩的地区，经常戴口罩的人有95%，不经常戴口罩的人5%；在一个不喜欢戴口罩的地区，经常戴口罩的人有5%，不经常戴口罩的人有95%；佩戴口罩被感染的概率为3.1%，不戴口罩时被感染的概率17.4%，已知感染疾病，求没戴口罩感染的概率哪个地区大？解：①在喜欢戴口罩的地区设用A表示戴口罩，A表示不戴口罩，B表示感染传染疾病，则P（A）=95%，P（A）=5%，P（B｜A）=3.1%，P（B｜A）=17.4%，P（A｜B）=P（A｜B）P（B）=P（A）P（B｜A）P（A）P（B｜A）+P（A）P（B｜A）=22.8%②在不喜欢戴口罩的地区设用A表示戴口罩，A表示不戴口罩，B表示感染传染疾病，则P（A）=5%，P（A）=95%，P（B｜A）=3.1%，P（B｜A）=17.4%，P（A｜B）=P（AB）P（B）=P（A）P（B｜A）P（A）P（B｜A）+P（A）P（B｜A）=99.1%（引导学生自己列式）通过计算，在不偏好戴口罩的地区，没戴口罩被感染的概率为99.1%，在偏好戴口罩的地区，没戴口罩被感染的概率为22.8%。这个结果从概率角度解释了戴口罩防护的必要性。所以号召大家戴口罩。选取真实的案例，让相关专业和实际生活相互联系，使得学生能学以致用，感受到数学和生活息息相关，同时培养了学生解决实际问题的能力。培养了学生用数学思维分析生活中的相关数据和模型的建立。真正做到学以致用。让学生自己利用公式分析和解决实际问题，这道题演示完后可以追问学生有什么应用背景？如果答不出，教师可以给予引导，这种师生互动，教师不仅传授了知识，还学会了应用理论解决实际问题的能力。例2某人欲乘火车、船、汽车、飞机去西安开会，乘火车的概率为0.3，乘船概率为0.2，乘汽车概率为0.1，乘飞机的概率为0.4；但是他乘坐火车、船、汽车、飞机迟到的概率分别为0.25、0.3、0.1和0，但最后他迟到了，试问他乘坐那种交通工具导致他迟到的可能性最大？解：设B表示迟到，A1表示乘坐火车，A2乘船，A3乘汽车，A4乘飞机，由题已知：P（A1）=0.3P（A2）=0.2P（A3）=0.1P（A4）=0.4P（B｜A1）=0.25P（B｜A2）=0.3P（B｜A3）=0.1P（B｜A4）=0.4P（A1｜B）=P（A1B）P（B）=P（A1）P（B｜A1）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.3×0.250.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.5P（A2｜B）=P（A2B）P（B）=P（A2）P（B｜A2）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.3×0.20.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.4P（A3｜B）=P（A3B）P（B）=P（A3）P（B｜A3）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.1×0.10.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.069P（A4｜B）=P（A4B）P（B）=P（A4）P（B｜A4）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=00.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0比较上面的4种结果，推测出他乘火车和船的可能性比较大，但是乘坐汽车的可能性比较小，乘飞机来是几乎不可能的。贝叶斯公式被广泛应用到生活中，不只是机械的学习课本上的知识，通过实例用贝叶斯公式解决实际生活中的概率方面的问题，有重要的意义，同时学以致用，将体会到求解概率问题中无穷的乐趣，它将贯穿于我们的整个生活中。

（三）课后的跟踪

授课结束后，可以根据参加课堂讨论、课堂练习、课堂表现来了解学生的在课堂的学习情况，给出课后习题，让学生进行练习巩固知识点。课后，学生和老师可以在线上讨论知识点和难点，来促进教学效果。总之，如何定位概率论与数理统计传统教学模式与线上线下教学模式的关系，使二者互为补充，在课堂教学中引入大数据实例，并以微课的形式展现，实现线上线下教学模式的相互结合问题，必将为概率论与数理统计教学改革提供有益的借鉴。

参考文献：

［1］曹建美，冯晨娇，王凤翔.将数学建模思想引入“贝叶斯公式”教学中的案例实施［J］.江苏科技信息，2020，37（34）：57-59.

［2］赖怡冰.《概率论与数理统计》在线混合式教学的设计与实现［J］.科技风，2021（11）：78-79，98.

［3］包淑华，张健.概率论与数理统计课程应用型教学法研究［J］.山西青年，2021（5）：36-37.

作者:王春茹 邹佩 王蓉 单位:西安建筑科技大学