概率论与数理统计大班教学实践

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摘要：概率论与数理统计是数学类以及非数学类专业的重要基础课程之一。针对大班教学的精细化管理、课下的QQ交流群+课下课中的雨课堂、数学史以及案例的引入，增强了学生的学习兴趣，提高了学生的学习效率；在知识的应用中，点燃学习热情，激发创新活力。另外在雨课堂的使用中也遇到一些问题，解决的办法尚在探索中。

关键词：概率论与数理统计；大班教学；QQ+雨课堂；数学史；案例

概率论与数理统计是理、工、经管各专业重要的基础课之一。其内容丰富，实用性强。它是专门研究和探索客观世界中随机现象的统计规律性的一门学科，是数学的一个重要分支，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。在教学的过程中，对大班的管理、交流与互动相当有难度；学习该门课程既要在设定的数学程度上坚持严谨性，又要兼顾对概念的直观理解，在一定程度上灵活运用。鉴于该门课的特点以及大班教学中遇到的困难，现提出如下改革举措。

1概率论与数理统计教学改革举措

1.1大班的精细化管理

工科院校的概率论与数理统计课程一般都是大班教学，一个大班一般有180人左右。一个教师面对这么多的学生，无论是书面作业的批改还是一对一的交流，无疑都是困难的。为了解决这个问题，笔者采用精细化管理。1.1.1书面作业的批改。为了交流、学习的方便，笔者把学生以宿舍为单位分成几十个学习小组，每个学习小组一般2-4位学生。笔者每次课开始的10min左右，都是对前次课后作业的反馈、有针对地讲解。为了提高大家的注意力、新鲜感和责任感，每位学生都是监督员、评判员，手握红笔对小组其他成员的作业进行评判。在评判中也增进了相互了解、交流和友谊。一般如果时间充足，每次课会随机邀请1-2位学生走上讲台跟大家交流，这样既是对大家课下学习情况的督促和检查，同时也锻炼了学生的口头表达能力，另外，学生的讲解，也很容易引起大家的共鸣。为了促进大家认真完成，每章都会收上来一一检查，根据作业的正确率、书写以及互批改正的落实情况进行分级，作为平时成绩评分的依据之一。1.1.2问题的交流。学生们在学习中不可避免地会遇到各式各样的问题，为了得到及时的解决，笔者成立了学习互助小组，小组成员可以是好朋友，可以是同宿舍的舍友，当然有时候有的学生能力较强、乐于奉献，笔者就将需要帮助的学生分给他，结成对子，大家一起学习进步。这样大家很团结，学习热情也很高。

1.2QQ群+雨课堂

为了加强教师对大班学生的有效管理、沟通与交流，笔者建立了班级QQ群；为了对大班学生学习过程进行量化和监督，笔者引入了雨课堂。1.2.1建立班级QQ群。面对180人左右的大班，在QQ群发资料给大家，无疑是很方便的，学生下载下来，没有网络的时候也可以阅读。学生有什么问题可以在群里问，有些问题学生们可以相互解答，别的学生也可学习，实现了共享。教师把要讨论的问题在群里抛给大家，学生们踊跃讨论，在网上讨论问题克服了面对面的腼腆，大家畅所欲言很积极。学生们有事情也可以发私信给教师，能得到教师的及时回复。总之，QQ群让一个个个体通过某种方式凝聚在一起，教师发出一个声音大家无论何时何处都能听到并及时做出回应。QQ群让大的学习集体有效的沟通、交流不仅成为可能而且成为现实。1.2.2雨课堂。笔者在2017年开始将它用于大班的签到。以前只能通过点名了解大家的考勤情况，对于一个近200人的大班而言，每次课都点名很难办到，只能随机点名，以督促警示大家严格要求自己。用雨课堂签到，方便快捷，可以得到每位学生到课数据，包括迟到、旷课，不过目前还不能记录是否早退。2020年春，一场突如其来的新冠疫情，全民不得不开展在线教育，笔者选择了雨课堂。雨课堂的弹幕功能，使得教师随时了解学生的想法，及时调整教学内容，这个互动效果很好，学生们课堂参与的热情很高。其次笔者每次课后都会制作下次课的课前小测，根据本次课的内容把要掌握的重点、难点、易模糊的概念以及要扩展的知识点通过小测的形式发给大家，每次小测中还会有一个或两个下次课要学习的内容的题目，以提醒大家预习准备功课。每次课笔者会根据雨课堂提供的每个题的正确率来挑选题目进行讲解。小测虽然让大家课下辛苦一些，但是大家的收获也是满满的，所以学生们每次都私信我，很感谢小测这种形式，希望可以沿袭下去，师弟师妹们也可以受益。再就是雨课堂的课件课堂回放功能，这是面授无法比拟的，极大方便了学生们的复习和巩固。还有为了使得课堂能经得起反复回看、推敲、有回看的价值，要求教师在备课的时候要下大功夫，课堂的教学水平尽可能达到所能及的最高。课堂签到以及小测的提交情况的数据都可以由雨课堂提供，学生学习过程的记录可以作为学生平时成绩评分的依据。总之，雨课堂的签到、小测、课件回放，方便了教师对大班学生学习过程的了解、记录，使得学生的学习更加高效，课堂互动更加及时、有针对性。笔者在使用雨课堂时也遇到一些问题，比如学生在雨课堂注册时，使用的可能不是真实的姓名，或者学号有误，这些需要笔者一个个去对照，把不合要求的删除或加入黑名单。再就是小测的题目，少数学生不知道正确答案，为了应付考核而随意选取答案然后提交，这样再做题次数上满足了要求，但是其并未真正进行思考。对于这种情况，为了尽量避免，系统可对答题时间进行一定的限制，希望雨课堂软件设计者能够对此探索有效解决的方法，或是通过与其他雨课堂使用者的交流来解决此类问题。

1.3将数学史融入课堂

与数学的其他分支一样，在公理系统的基础上发展起来的概率论更多地依赖于逻辑的正确性，而与实际物理现象的联系不是十分紧密。因而不免会有抽象、枯燥的特点。将数学家的轶闻趣事融入课堂，能增加趣味，活跃课堂气氛。比如可以谈一谈给出概率论公理化定义的苏联大数学家柯尔莫哥洛夫。他小时候就是“别人家的孩子”“百科书般的存在”，兴趣广泛，除了热爱数学之外，还喜欢旅行、游泳、诗歌、历史等。他的研究几乎遍及数学的所有领域，如射影几何、数理统计、函数论、拓扑学、逼近论等等，研究数学的同时，还涉猎古建筑、雕塑、绘画等人文学科。在长达半个多世纪的学术生涯里，柯尔莫哥洛夫不断提出新问题、构建新思想、创造新方法，在数学舞台上保持着历久不衰的生命力，这也得益于他健康的体魄。他酷爱体育锻炼，被人称作“户外数学家”。他的许多奇妙的数学思想都是在林间漫步、湖中畅游、山坡滑雪时候诞生的。就是这样一位让人顶礼膜拜的数学家，也有让人匪夷所思的一面。曾经在学术会议上，跟数学家Luzin意见不合，居然大打出手。实践证明，课堂中引入数学史，学生能更好地走近数学家、理解其数学思想，进而受到启发，丰富自己的知识体系。

1.4引入实际的案例

要让学生很好地理解某个概念或者公式，教师引入实际的案例，往往能达到很好的效果。比如在讲述概率中利用事情发生的可能性大小做决策时，可以引入如下案例：2000年悉尼奥运会开幕前，气象学家对两个开幕候选日“9月10日”和“9月15日”的100年气象学资料分析发现，“9月10日”的下雨天数为86天，“9月15日”的下雨天数为22天。即“9月10日”和“9月15日”的下雨频率分别为86%和22%，因此最后决定开幕日定为“9月15日”。另外一个案例为1939年9月英国对德宣战后，英国为了摆脱德国对潜艇的袭击，舰船开始以单独行动为主，以减小目标被暴露的可能性。但经过一段实战的检验，这种单独行动的方式不仅没能减少损失，反而由于舰船失去了相互掩护，增大了被德国潜艇乘隙而入各个击破的机会。到了1940年，英国汲取了前一段反潜作战的教训，开始广泛采用小型护航船队的方式进行活动，这样一来，德国潜艇不仅越来越难找到单艘商船和军舰进行袭击，而且自身还遭受了一定的损失。为此，1940年，上半年英国海上交通出现了一段暂时的宁静。但是到了下半年，情况又发生了很大的变化。德国潜艇摸到了英国船队的活动规律，调整了战法，使英国的小型护航船队又开始受到德国潜艇群的围歼。为了摆脱困境，首相丘吉尔招贤觅策，英国的一名数学家挺身而出，为最终打破德国潜艇封锁战提供了一条十分有效的对策。这位数学家运用概率论的方法，经过全面的分析后提出：船队能否被袭击，取决于航行中是否与敌相遇，而与敌相遇属于可能发生也可能不发生的事件。其规律是：在同等数量船只的情况下，编队的规模越小，其批次就会越多，而批次越多，航行中与对方潜艇相遇的机会就会越大。反之，相遇的机会就会越小。再者，德国潜艇的数量与运输船队相比总是少数，它所携带的弹药更是有限。每次相遇战中，英国运输船队被击沉的船只数量限于德国潜艇的作战能力和作战效果。这就说明，运输船队的规模越大，数量越多，每艘船只被击沉的概率就会越小。因而，英国采取了集中航渡和集中护航的方式。实战检验充分证明了这位数学家提出的概率论法则很有效果。丘吉尔利用科学家打赢了一场海战，概率论战胜了潜艇战，成为世界海战史上一段美谈。自此，大规模护航船队的方式成为一条基本战法沿用至今。实践表明，引入案例教学，不仅可以调节课堂的氛围，而且有利于学生加深对某概念的理解。

1.5在应用中，点燃学习热情，激发创新活力

比如讲贝叶斯定理时可以简述它在人工智能中的应用。贝叶斯定理源于18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯生前为解决一个“逆向概率”问题而写的一篇论文。所谓“逆向概率”，就是说，当不能准确知悉一个事物的本质时，可以依靠经验去判断其本质属性。贝叶斯定理建立在主观判断的基础上，可以先估计一个值，然后根据客观事实不断修正。这个研究看起来平淡无奇，论文直到贝叶斯死后的第二年才由他的一位朋友在1763年发表。那么贝叶斯定理在人工智能领域又是如何体现它的强大威力的呢？自然语言处理是人工智能诸多应用中的一类，即让计算机代替人来翻译语言、识别语音、认识文字、进行海量文献的自动检索。但是，人类的语言可以说是信息里最复杂最动态的一部分。人们最初想到的方法是让计算机学习人类的语法、分析语句等等。可是，几十年过去了，基于这个语法规则的方法几乎毫无突破。率先成功用数学方法解决自然语言处理的是贾里尼克。他认为语音识别就是根据接收到的一个信号序列推测说话人实际发出的信号序列和要表达的意思。基于给定文字出现这条语音的条件概率建立声学模型；对出现该条文字序列的先验概率建立语言模型，随着大量数据输入模型的迭代，贝叶斯定理的威力日益凸显。语音识别本质上就是找到概率最大的文字序列，一旦出现条件概率，贝叶斯定理总能挺身而出。

2结语

为了解决工科大班教学所遇到的管理、交流的难题，笔者对大班采取精细化管理，并用“QQ群+雨课堂”加以辅助。为了提高学生学习概率论与数理统计的兴趣和学习效率，笔者将“数学史”和“实际案例”引入课堂。应用概率论与数理统计知识解决当代的问题，更是体现出这门学科不是空头理论，这拉近了学生与这门学科的距离，点燃了学生的学习热情。教学实践表明，上述方法可以解决大班教学遇到的部分难题，可以提高学生的学习兴趣和学习效率，可以激发学生学以致用、用中谋创的热情。

作者:王琳 孙琳 单位:广东工业大学应用数学学院