古代农业数学探析

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1我国农业数学的起源

我国古代数学对于世界文化有过伟大的贡献。有足够多的例证说明它们立论严谨,走在世界的前列。古代数学起源于农业生产。中国农业有着悠久的历史,发生于原始采集和狩猎的经济母体中。农业生产受社会经济和自然环境等多种因素的影响,古人把“地”看成是“万物之本原,诸生之根菀”,土地是农业生产的基本生产资料,有了“地”,就要有测量,就要有计算,当然就有了数学。

2我国农业数学的特点

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学,我国古代数学恰恰是在数、形、数形结合这3个方面有其特色和自成系统。我国最迟从春秋战国开始就普遍用算筹记数,而且采用了十进位制,有了良好的记数工具,就可以比较轻便地进行自然数运算;除不尽的除法,还出现分数记法及其运算,用2种不同颜色的算筹区别正数和负数就可以通行无阻地进行有理数四则运算,能够解决各种比例问题的“今有术”也是在这种算筹制上进行的;从两汉历经隋唐宋元,正确、快捷列出方程、方程组、不定方程和不定方程组也都是在这种算筹制上进行的。从汉末三国时代开始的出入相补、损广益陕原理在处理空间形式问题上起到主导作用,平面图形的割补和立体图形的棋验都体现了这一原理。用长方形余形相等出入相补法则来诠释刘微重差九术就来得自然,用此来补证秦九韶三斜求积公式,“秦氏承袭希腊海伦”之说也将不攻自破,著名的刘微割圆术是出入相补的应用,祖用牟合方盖这一专用模型来推导球的体积公式,在方法上、理论上和所得结果至今无可指责,究其原理还是出入相补之理。数形结合、相辅相成。开平方、开立方无疑是刘微“解体用图”的具体应用,犹如层层剥茧、井然有序。沈括、杨辉堆垛求和,又与相应立体体积公式类比,从而导出正确结果。反过来,几何问题又依赖于数量关系。例如赵爽“勾股圆方图注”凭借计算,以证明勾股弦关系,海岛重差借助长方形余形,其理始显。圆,作为内接正多边形倍增边数的极限也是通过计算得以阐明的。

3我国古代数学专著中的农业数学问题

3.1《九章算术》《九章算术》是中国古代数学专著[1],是算经十书中最重要的一种。《九章算术》上承先秦数学发展之源流,入汉之后又经许多学者的整理、删补和修订,大约于东汉初年(公元1世纪)成书,是几代人共同劳动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成。后世的古代数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的,许多人曾为它作过注释,其中最著名的有刘徽(公元263年)、李淳风(公元656年)等人。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻,是世界上最早的印刷本数学书。《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本。现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。《九章算术》收有246个数学问题,分为九章。它们的主要内容分别是:第1章“方田”,研究田亩面积计算;第2章“粟米”,研究谷物粮食的按比例折换;第3章“衰分”,研究比例分配问题;第4章“少广”,已知面积、体积、求其一边长和径长等;第5章“商功”,研究土石工程、体积计算;第六章“均输”,研究合理摊派赋税;第七章“盈不足”,即双设法问题;第八章“方程”,研究一次方程组问题;第九章“勾股”,利用勾股定理求解。《九章算术》主要有以下的数学成就:①提出分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则,比欧洲早1400多年。②提出整套的比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。③介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。④采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵。解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方,直到17世纪才提出完整的线性方程的解法和法则。⑤引进和使用了负数,并提出了正负数,正负数的加减法则,与现今代数法则完全相同;解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系。外国则到7世纪才认识负数。⑥提出了勾股数问题的通解公式。在西方直到3世纪才取得相近的结果,比《九章算术》晚了约3个世纪。⑦提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式。

3.2相关农业数学问题研究在古代中国数学中,就已研究过很多农业或与农业有关的问题,比如下面这些问题:例1今有池方一丈,葭生其(池)中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何[2]?今译:有一正方形池塘,它的边长为1丈,一棵芦苇生长在这池塘的正中央,长出水面1尺,如果将芦苇拉向池塘边,茎尖刚巧碰到池岸边,问池塘水深及芦苇长各是多少?这就是一个勾股定理的题目,使用勾股定理经过简单计算,知水深一丈二尺,葭长一丈三尺。例2今有共买牛,七家共出一百九十,不足三百三十,九家共出二百七十,盈三十。问家数牛价各几何[3]?今译:有若干户人家共同买牛。如果7家共出钱190则不够330,如果9家共出钱270,则多钱30。问家数及牛价各是多少?将盈不足术翻译成如今方程组求解就是:设x为家数,y为牛价,由题意得:x9×270-y=30y-x7×190=330解得家数为126,牛价3750钱。例3今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及粟几何[1]?今译:有粟若干,堆积在平地上成圆锥形,它的底圆周长是12丈,高2丈,问它的体积及粟各是多少?答曰:积八千尺,为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。例4今有委菽依垣,下周三丈,高七尺,问积及为菽各几何[4]?今译:有菽若干,靠墙堆积,它的底圆半周长3丈,高7尺,问它的体积及菽各是多少?答曰:积三百五十尺,为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。例5今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问积及为米几何[5]?今译:有米若干,堆积在墙的内角,它的底圆周长的1/4之一是8尺,高是5尺,问它的体积及米各是多少?答曰:积三十五尺九分尺之五,为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。关于这种计算堆积的方法,在我国民间沿用很广,并将这些公式编成歌诀流传下来。其歌诀是:光堆法用三十六,倚壁须分十八停,内角聚时如九一,外角三九甚分明。这些流传的歌诀,可能就是后人根据《九章算术》的这个“委粟术”编写而成的。很明显,歌诀前3句的意思,就无异于“委粟术”的术文。至于歌诀的第4句,就是依墙外角堆米,参照术文可表达为:“依垣外角者(居圆锥之四分之三也)二十七而一。”不过,《九章算术》中没有这样的例子。总而言之,我国古代数学与农业有着千丝万缕的联系,笔者所述仅是冰山一角。