B样条曲面拟合方法应用于人体测量
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摘要：随着计算机辅助设计技术的不断发展，三维参数化设计作为一种新的计算机辅助设计方法已经得到广泛应用。提出应用投影栅相位法测量人体的三维数据，在最小二乘意义下采用B样条拟合曲面的方法，在临床治疗和医学基础研究方面有重要的实用价值。
关键词：投影栅相位法；曲面拟合；B样条
随着人们生活水平的提高，越来越多的人希望通过整形手术来改变自己的外形，整形手术已成为当前医学领域研究的热门之一。但目前国内外用于人体形态测量的方法大多停留在应用卷尺测量的手工操作阶段，存在着测量不方便，以及不能通过模型来形象表达等缺点。另外，由于X线可能存在放射性损伤；而超声波进行乳房形态测量的重复性难以令人满意；CT、MRI均为昂贵的设备，检查费用为一般整形美容者难以接受。这些因素明显地限制了人体形态测量的发展。本文从实用经济的角度出发，应用投影栅相位法测量技术获得二维曲面的条纹图，利用B样条拟合人体曲面的一整套方法在国内是首次提出。本文以B样条曲面拟合函数为基础，系统地研究了曲面等高条纹的处理方法，实现了影像条纹图像到三维图像处理过程的自动化。
1投影栅相位法的光学原理
投影栅相位法是采用将投射栅线投影在被测物体和参考平面上来测量三维形状的方法。这种方法利用投射几何关系，建立物体表面条纹图和参考平面条纹图的相位差与相对高度的关系，从而获得物体表面与参考平面间的相对高度。当一组栅线以平行或发散的方式与观察方向成某一角度投射到被测物体表面时，由于表面的不同高度将引起条纹的位移和扭曲，并形成与参考平面的相位差，图1表示了使用平行投射栅线的几何关系。
2数据点云的处理
投影栅相位法主要用于常规量级物体的表面形貌测量。其测量数据与激光扫描法、CT扫描法等相比，具有速度快的优点，但在数据点精度方面略有差距，需要对所测得数据点云中存在的误差点进行分类处理。数据点云中的误差点主要是由下列三类误差造成：
（1）随机误差。它由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素造成。在投影栅相位法测量过程中，随机误差主要是由环境方面的因素造成。例如因为电流变化引起光照强度的变化。
（2）粗大误差。它主要是由测量条件意外改变引起的仪器示值或被测对象位置改变而产生的。
（3）系统误差。它由固定不变的或按规定规律变化的因素造成的。例如模拟正弦条纹的宽度大小、解像过程中的扫描方法等。
由于该测试系统尚处于研究试验阶段，系统本身具有一定的局限性，对测试结果造成了很大的影响。目前通过实验发现最主要的系统误差有两类：①物体表面的局部反射性质与周围不同，即在投射条纹时出现强光亮斑，解像时产生数据点和区域突变现象，直观上表现为洞；②物体表面局部区域梯度变化突然，条纹的相位值变化突然，使解像时产生数据点聚集现象。两类现象如图2所示。
根据数据点误差产生原因不同，采取不同的误差点标志方法。这里针对第一类情况，采取的方法是对全部数据点进行扫描，确定突变点和突变区域，扫描依据是数据点曲率发生极大跳变的点或区域，数值上表现为与周围点相差悬殊，为本身数值的几百倍；第二类情况表现为行或列中数据点曲率有较大变化，采取对行或列进行曲率计算，标志出超过某一规定曲率阈值点。
误差点替代算法采用距离加权法，其基本思想是：设计一个以被替代数据点到周围可信数据点的距离加权函数，从被替代数据点为中心的多个方向选择样本点，距离被替代数据点越近的样本点，对被替代数据点的数值影响越大。距离加权法如下：
3最小二乘法拟合B样条曲面
最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法。投影栅相位法测量数据本身具有一定的局限性，例如个别数据的误差或者波动可能性很大，但给出的数据很多，这里曲面拟合的目的是从给出的大量数据中找出规律，构造曲面反映数据点总的趋势，以消除其局部误差或波动。B样条方法既可以表示整体曲面，又可以保持曲面局部特性。采用最小二乘拟合三次B样条曲面，曲面拟合是以曲线拟合为基础的，在拟合曲面以前，要以数据点的行或列为标准进行曲线拟合。
3．1拟合B样条曲线
曲线的拟合操作分为两部分，即数据点的参数化和曲线的迭代拟合。下面是一条k次B样条曲线的分段多项式表达式：
3．2曲面拟合方法
曲面拟合过程与曲线相似，但不管采用何种参数化方法，其原则是保证曲面在节点向量的每个区间内均应有数据点，即参数化是均匀的，从而避免奇异情况的发生。这里依然采用均匀参数化法。作最小二乘曲面拟合时，一般要首先给定待拟合曲面的控制点数、样条基的次数和两个节点向量。曲面的控制点数越多，计算越复杂，但一般来说精度也就越高，也更容易出现奇异现象。因此在满足精度的前提下，要尽量使用较少的控制点。由于人体曲面的数据点云为58×77列，可以设控制点集合为(m+1)×（n+1）列（m>57,n>76），令样条基的次数为三次，则曲面的基函数可由DeBoor－Cox公式确定。设两节点矢量分别为U和V,可得待拟合的B样条曲面方程为采用上述算法，进行了人体胸部数据点云的曲面重构，表1列出了不同控制点个数拟合曲面误差情况比较，可以看出平均误差随着控制点个数的增加逐步减小，而最大相对误差则没有这种变化趋势，符合最小二乘拟合的实际情况。从图5中各图所示的情况，可以进一步明确控制点少曲面的光顺性较好，而控制点多拟合的精度较高，但拟合的光顺性相对较差。所以在最小二乘拟合曲面时，应根据需要选择尽量少的控制点个数，在保证曲面精度的情况下，使曲面的光顺性好。
4结束语
基于检测曲面表面曲率的连续性来发现误差点，提出距离加权法计算被替代误差点的数值，解决了测量时产生的数据误差，满足了曲面拟合的实际需要。采用加权的最小二乘拟合算法，强调了关键数据点的作用，既可保证曲面的光顺性，又可控制误差在要求的范围内。应用投影栅相位法进行人体非接触测量，用三维重构数据辅助医学整容治疗，在国内属于开拓性研究，还有许多地方需要在下一步的工作中改进。
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