利用儿童认知规律促其形成数学概念

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小学生形成与掌握数学概念的心理过程大体可分为四个阶段，一是对形成概念有关的材料进行感知并形成表象；二是分出概念的本质特征；三是用语言表达和固定概念的本质特征；四是把概念具体化。下面就以上各个阶段的教学，简要阐述如下。

一、感知与形成概念有关的材料，建立表象阶段

在数学概念的教学活动中，首先要通过学生的视、听、触等感觉器官，对事物的个别属性以及他们的联系，在头脑中反映出来。在感知的基础上，建立起某一事物的感性形象（表象），这是学生形成数学概念的基础。如果没有这些感性认识作基础，学生所记忆的概念条文将是僵死的。因此，进行数学概念教学时，采用教具演示，让学生动手操作，引导学生观察，使其占有一定数量的感性材料，是不可忽视的一环。例如，教学长方形概念时，通过让学生观察黑板面、课桌面、书本面、……从而了解他们的形状都是方的；通过数它们边的条数和角的个数，得知都有四条边和四个角；通过动手量他们对边的长度，得知对边相等；通过三角板的直角与它们的角相比，得知四个角都是直角。借助实物，通过这些观察和操作，学生对长方形进行了感知，形成了它的表象，这样就为建立它的概念奠定了基础。数学概念形成的初期，除了给学生提供直观材料让他们进行感知外，已有的知识和经验也起着重要的作用。所以，还要把已有的知识和经验作为材料，去形成新的概念。例如，质数与合数的概念就是依赖于因数的概念而建立的。教学时，首先要让学生再现因数的概念，然后再比较因数个数的情况，从而建立起质数与合数的概念。所以，在数学概念教学时，应当适时而恰当地利用学生已获得的知识和经验。

二、分出概念的本质特征阶段

学生对形成数学概念有关的材料进行了感知并形成表象后，接下来的心理活动就是思维。即通过分析、综合、比较、抽象、概括等思维活动，分出概念的本质特征。这个过程是由外部活动向内部活动转化的过程，即“内化”过程。因为小学生的内部语言还不够发达，思维的目的性、方向性、确定性水平还比较低，思维的自觉程度也比较差，所以在这个过程中需要教师很好地教育和引导。这个阶段的教学，常常采用以下方法。

1.在直观过程中，引导学生概括本质特征。例如，教学圆周率的概念时，教师和学生分别用几个大小不同的圆滚动一周，并通过量、算，求得每个圆的周长分别是它的直径的三倍多一些，接着，就应当及时地引导学生进行抽象概括，得出“任何圆的周长都是直径的三倍多一些”，从而初步建立圆周率的概念。

2.通过分析、综合，弄清概念的内涵，突出其本质特征，分化其非本质特征。例如，教学循环小数时，通过分析73÷3=24.33……和9.4÷11=0.85454……小数部分数字的特点，并把二者进行综合，突出循环小数的本质特征。同时，还要分化出它的非本质特征。

3.通过比较，突出概念本质特征，弄清概念的异同。例如，对奇数和质数进行比较，奇数和质数指的分别都是一个自然数，但奇数指的是不能被2整除的自然数，质数是只有两个因数的自然数，因而1是奇数而不是质数，2是质数而不是奇数，3既是奇数又是质数。

4.通过变式，从不同的方面解释概念的本质特征。例如，在加法应用题中出现“剩下”、在乘法应用题中出现“平均”等词，以防止学生把某些词与某种运算建立起固定的联系。

5.从反面揭示概念，加深对其本质特征的认识。例如，讲12时，把一个物体分成悬殊特别大的两部分，让学生明确认识每一份不能用12表示，从反面加深对分数概念中“平均分”这一本质特征的认识。

6.通过分类，弄清概念的外延。例如，把三角形按边分为等腰（含等边）、不等边三角形，按角分为锐角、直角、钝角三角形，从而使学生明白三角形所反映的对象，即三角形的外延。

三、用语言表达和固定概念的本质特征阶段

概念总是与词语联系着，并用词语(或符号)表述出来。根据形成数学概念的材料，经过思维得出它的本质特征以后，还要用语言表达和固定它的本质特征，即给概念做解释或下定义。由于小学生在概括概念的本质特征时，自觉性、逻辑性、系统性都比较差，同时也不能很好地用准确的词语进行表达，所以，教学中常采用在教师引导和帮助下，先让学生试着下定义，教师再给以纠正或肯定并进行准确表述，然后再让学生记忆的方法。这个阶段的教学，应注意以下几点。

1.给数学概念下定义，要注意词语完整、准确，其内涵应包括它的每一个本质特征。例如，乘法的概念如果定义为“求几个加数和的运算”、“求几个加数和的简便运算”、“求几个相同加数和的运算”则都是因语言不准确、不完整而造成错误。如把乘法的概念定义为“求几个相同加数的和”，则因遗漏了它的另一个本质特征（简便运算）而造成错误。

2.给数学概念下定义，要注意时机恰当。一般来说，当学生形成了表象，对本质特征有了认识时，给数学概念下定义最为适宜。如果下定义过早，学生对概念就不易理解，容易造成死记硬背；如果时机成熟还不下定义，将影响学生认识的升华，也影响知识的应用和解决问题能力的培养。

3.给数学概念下定义，要注意根据学生年级的差别，作出不同层次的定义，使之不断深化。一般来说，低年级只给概念作出解释，随着年级的增加，知识的增长，抽象概括能力的提高，才逐步对数学概念作出规定。例如，关于角的概念，在低年级，通过让学生观察有关角的实物，形成角的表象，再根据表象抽象出角的几何图形，只让学生指出实物和几何图形的角。到了高年级，在学生形成了点和射线的概念后，才给出了角的描述性定义。

四、把概念具体化阶段

学生形成和掌握数学概念，是一个从个别到一般，又从一般到个别的认识活动过程。在这个阶段，学生的思维活动由一般又回到特殊的事物上去。这样，不仅可以应用数学概念去进一步了解有关事物，而且还可以使抽象的理论不脱离具体直观，从而进一步实现对数学概念的理解。在教学中，把数学概念具体化主要有两种方式。

1.应用已获得的数学概念去解答口头或书面作业。例如，在学生获得“季度”这一概念后，让学生解答“今年的第一季度有多少天？”解答时，学生的思维首先要把“第一季度”具体化为“一月、二月、三月这三个月”，从而进一步实现对“季度”的理解和掌握。小学生把数学概念具体化主要靠这种方式。

2.应用已获得的数学概念去进行实际操作或作业。例如，学习线段的概念后，让学生画一条5厘米长的线段。这时学生的思维，要由线段的概念再回到他的表象，并用概念指导动作来完成这一做图，从而又加深了线段这一概念的理解和掌握。再如，在学生建立梯形面积的概念后，让学生测量一个梯形面积所需数据，从而算出梯形的面积。完成这一实际作业的过程，是学生把数学概念具体化的过程，也是学生进一步理解、掌握和应用数学概念的过程。采用这种方式把数学概念具体化有一定难度，教学中应结合教材内容和学生的实际情况适当采用，否则会增加学生学习的困难。

总之，在数学概念教学中，只有自觉地按照儿童的认知规律进行教学，才能克服死记硬背的做法，实现对学生能力的培养和智力的开发，从而有助于我们提高教育教学质量。