全息法与大学数学教学

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1引言

文献分别通过实例探讨了全息法在大学数学概念、定理教学中的应用.指出运用全息方法进行大学数学教学有利于发挥学生学习的主动性，提高学生的创造性思维能力；文献[7]基于全息理论视角，针对当前存在于课堂教学评价中存在的缺陷，建立一个可操作的全息课堂教学评价技术框架.由以上可知，许多数学教育工作者全息理论在大学数学教学中的重要性有了充分的认识，但是在操作层面上，只举例出高等数学教学中的概念，定理教学中的应用.但对一些全息理论的基本特征，如局部是整体的全息元、已知是未知的全息元、有限是无限的全息元；数形互为全息元、好的数学问题是数学的心脏，是质高量大的数学思维，方法，技巧的全息等方面的研究还很少.因此本文将研究大学数学课程中的各类全息现象，探讨大学数学中出现的各类特殊的全息元以及这些全息元在整个大学过程中的作用.利用全息元理论将整个大学数学课程进行有机的连接，达到教师对数学学科教学更加得心应手，学生在学习数学过程中学会主动思考并逐渐培养起数学学习兴趣的目的.数学全息现象是指某一数学结构G在性质下的一子系统能够反映整个结构G.在数学全息现象中，反映整个结构G的相对独立部分g称为数学全息元.

2全息元在大学数学教学中的应用

2.1局部是整体的全息元

文献[8]指出全息性逻辑思维是大学数学的精髓，其构成的两大要素为局部信息和整体信息，而局部信息又称为数学全息元.数学全息元是数学直觉产生的客观基础，要善于捕捉数学信息元，提高数学猜想能力.在数学教学中正确运用数学全息性逻辑思维进行教学，既可以提高数学教学效率，又可以提高学生的全息性逻辑思维能力.在高等数学中，运用全息性逻辑思维观点分析和解答问题时，必须深刻理解“局部信息”和“整体信息”.若用“部分”来展示“整体的信息”，那么首先，“部分”要有资格.其次，所要展示的“整体信息”的“档次”愈高，它的“部分信息”的“资格”要求也愈高.在高等数学中一个典型的例子就是函数图像的描绘.我们通过描绘函数图像上的特殊点（极值点、拐点、以及是函数没有定义的点）加上函数图像在各区间上的单调性、凹凸性就阿可以描绘出了整个函数的基本形状，因为我们通过计算获得的这部分信息反映了整体的信息，使整个函数图像的全息元.

2.2相似性互为全息元

典型的例子就是一元函数与多元函数之间的一些定义性质互为全息元.例如：函数的定义、极限、导数和微分等.下面仅以函数的定义为例进行说明.一元函数y=f(x)的定义：给定两个变量x和y,以及数集D,若对于D中的每一个x，在对应法则f的作用下都有唯一的y值与之对应，则称y是x的函数，记为y=f(x),y称为因变量，x称为自变量.把一元函数的定义当作全息元,要引导学生自己给出二元函数的定义（需要给学生一点提示：一元函数是在数轴上讨论的，而二元函数是在平面直角坐标系下讨论的），则相应的可以给出如下二元函数的定义:二元函数z=f(x,y)的定义：给定三个变量x、y和z,以及平面点集D,若对于D中的每一个(x,y)，在对应法则f的作用下都有唯一的z值与之对应，则称z是x和y的函数，记为z=f(x,y),z称为因变量，x和y称为自变量.把一元函数中的x看成是x轴上的点p，那么一元函数可以写成y=f(p);把二元函数中的(x,y)看成是平面上的点p，那么二元函数可以写成z=f(p);那么这两种函数形式是类似的.从而利用全息元的思想，我们可以引导学生给出三元函数以及n元函数的定义.类似的二元函数以及其他多元函数的其他性质都可以利用全息元的思想引导学生自己首先探索，这样会让学生学会思考，增强对数学学习的兴趣和探索能力.

2.3数形互为全息元

定积分的定义是典型的数形互为信息源的例子.设f为闭区间[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0.由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积(如图所示).通过分割求和取极限得到了曲边体型的面积公式A=limλ→0ni=1Σf(ξi)△xi，进而利用这个极限给出定积分的定义，A=limλ→0ni=1Σf(ξi)△xi=ba乙f(x)dx.把曲边梯形的面积作为定积分的全息元，有些定积分可以利用中学的知识直接得到结果，减少繁杂的换元积分计算.下面我们来再看这样一个例子，计算定积分：20乙4-x2姨dx.由于曲边梯形的面积是定积分的全息元，我们观察知道这个曲边梯形中的y=f(x)=4-x2姨,0≤x≤2，这恰好表示第一象限的1/4圆弧.如图2所示.而由圆的面积公式我们可以直接得到此曲边梯形的面积A恰好是1/4圆的面积，即A=14×π•22=π.故20乙4-x2姨dx=π.并且可以启发学生得到a0乙a2-x2dx=14πa2，而这种形式的积分在高等数学中是比较典型的一类积分.

2.4利用全息元加强线性代数的课程学习

线性代数中的很多知识正是以实数为全息元得出的.例如实数中倒数的定义是方阵逆阵的全息元.在实数中，我们有：若ab=1,则称b为a的倒数，记为b=a-1.利用全息元理论可以给出方阵逆阵的定义：对于n阶方阵A，若存在方阵B，满足AB=E，则称B为A的逆阵，记为B=A-1.类似的根据实数中的消去率公式可以定义方阵的消去率公式，只不过由于方阵乘法不满足交换律，从而定义了左消去率和右消去率.多项式函数是方阵多项式函数的全息元.知道这个信息，我们针对如下例子可以给出较简单的解法：例设A为n阶方阵，满足A2+3A+E=0，求证A+E可逆.倘若我们知道前述全息元信息，只要考虑如下问题：设实数x满足x2+3x+1=0，求证：x+1倒数存在.利用多项式出发进行简单计算得到x2+3x+1=(x+1)(x+2)-1=0，便得到x+1倒数存在，且倒数为x+2.把x还原成A，1还原成单位阵E，便得到此题目的解法，在此略去.利用全息元思想我们可以归纳出如下一类题：设A为n阶方阵，满足f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E=0，求证：b1A+b0E可逆.这道题可以采用类似的求解方法求解.

3结论

教师在大学数学教学过程中要充分应用数学全息法,将定义、定理、推论和一些计算证明，利用全息元理论将学过的知识和新知识做有机的衔接，这样不但能促进大学数学教学，还能够帮助学生真正理解教学内容，提高教学效率.达到利用有限的课时教给学生更多的知识，教给学生认识世界解决问题的能力，这也正是大学各学科教学的目标之一.

作者：李兰平单位：湖南财政经济学院基础课部