文科大学数学教材研究

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1调查结果分析

1.1名称的发展情况

有些教材以《微积分》命名，指出可以供文科学生以及其他科目学生使用；而更多具有针对性的直接为文科生打造的数学教材，虽然名称也有细微的区别，但是一定会在命名中含有“文科”字样．通过对这23本教材的统计，发现常用名称有“大学文科数学”、“大学文科基础数学”、“文科高等数学教程”、“大学文科高等数学”、“大学文科数学教程”、“文科高等数学”、“文科数学”、“文科数学基础”，其中“大学文科数学”占15本，是最常见的名称．第一本采用“大学文科数学”名称的是教材4，该书摒弃了传统的“高等数学”一词，因为其编者认为“高等数学”是从前苏联引进的，几十年形成的传统理解是微积分，这早已不适用于当今大学数学的现状了，而“大学文科数学”或“大学普通数学”之类的名词更为贴切．既然针对的都是文科生群体，那么教材是否应该有个统一的名称？

1.2主体内容构成的差异

文科生需要学习哪些大学数学知识？专家们的观点不尽相同，导致教材的内容各有特色．这23本教材的必有内容是一元微积分，对于教材10而言，也是仅有内容，因此它也是调查样本中包含内容最少的一本教材．常规内容还有线性代数与概率统计，其中线性代数在除教材10之外的22本教材中都有出现，而概率统计是除教材10、教材19、教材22之外的20本教材中都有出现．仅含有微积分的是教材10；仅含有微积分与线性代数的是教材22；仅含有微积分、线性代数与概率统计的有10本，分别是教材3、教材7、教材8、教材13、教材14、教材15、教材17、教材20、教材21、教材23．剩下的11本教材内容都各有不同的添加章节内容：教材1中有线性规划与模糊数学；教材2中有非欧几何与新学科概观；教材4中有逻辑；教材5中有数学模型与数学技术；教材6与教材16中有几何以及无穷的比较；教材9中有运筹学方法；教材11与教材18中有逻辑初步与数学实验；教材12中有模糊数学与图论；教材19中有命题逻辑与谓词逻辑．内容添加的各不相同，说明编者的偏重各不相同，问题在于：添加的内容的根据是什么？是针对群的专业特征还是编者自己的擅长与爱好？到底应该添加哪些内容？文科大学数学教材是否应该统一内容？如果统一的话，应该选择哪些内容？

1.3新旧版本之间的差异

通过特意的选取，这23本教材中包含了3对新旧版本：教材2与教材7、教材6与教材16、教材11与教材18．通过新旧版本的对照，可以发现编者对侧重点的转移以及对细节的完善．首先，教材2与教材7对照．教材2是山西师范大学的张国楚先生等人于1993年12月出版的《文科高等数学教程》．全书分为上下两册，上册重点介绍了一元微积分，下册介绍了多元微积分、线性代数、概率统计初步以及几个学科介绍的内容．约十年后，在2002年8月以教材2为蓝本，推出了第二版，更名为《文科高等数学》，即为教材7，依然是上下册，但压缩了内容，删去了抽象的戴德金分割、繁琐的台劳公式、篇幅较大的函数作图，以及无穷级数和几个新学科简介等章节．在解析几何中补充了简单的向量代数知识．考虑到新世纪对文科专业学生在素质方面的诸多要求，增加了对策论概述，补充了一些应用实例，添写了数学与创造等专题．考虑到一些高中已经讲授微分和概率初步知识，以及多数高校文科专业数学课程学时较少的现实，对原来上下册内容重新做了编排：把概率统计由下册移至上册；把解析几何由上册移至下册中多元微积分之前．上册作为必修课，下册作为选修课．再来看教材6与教材16的对照．教材6是北京市教育委员会“高等师范教育面向21世纪教学内容和课程体系改革”项目的研究成果，由张饴慈先生、焦宝聪先生、都长清先生与王汇淳先生联合主编，于2001年6月出版．本教材包含6章内容：微积分大意、随机数学的基本思想、线性代数初步、几何、无穷的比较和应用举例．2008年张饴慈先生对该教材进行了修改，推出了《大学文科数学》第二版，即为教材16．该版本包含4章：微积分大意，随机数学的基本思想，关于代数和几何的几个专题，无穷的比较．其中第一章、第二章和第四章与原版的相应内容相比没有太大变化．张先生认为对于文史哲类的学生，应该更强调数学的思想，减少技术与操作方面的东西，所以为了让文科学生更多了解数学的思想、方法在人类思想史中的地位，体会数学在人类文明进步中的作用，他将有关代数、几何、数学应用的内容删去，重写了一章，即为第三章代数和几何的几个专题，专题包括：矩阵与变换、布尔代数、三等分角、数学与密码、几何的公理化体系非欧几何．比如，在第三章第四节“数学与密码”中，编者更看重各种密码体制的思想，而不是具体密码的构造．在第三章第二节“布尔代数”中，编者更看重确定布尔函数时用插值法体现出的那种通性解法，看重它的思想作用；其中最为看重的是，从具体的开关电路、命题演算抽象出布尔代数，又能把它应用于其他领域的这种最一般的思想和能力，希望学生由此能初步体会抽象代数体系的作用和意义．这几个专题大都是关于代数的，几何只有一节．矩阵一节虽然涉及几何，但主要也是关于代数的．由于想减少技术与操作方面的东西，有时会缺乏必要的练习．例如，第三章第五节“几何的公理化体系非欧几何”，对学生来说，有些像数学史讲座，但是它给出了更多地哲学和历史思考．本书和传统教材有很大不同，即使是矩阵，其讲法也和传统的教材不同．作者希望能抛开技术上的细节，直达数学的本质．最后看一下教材11与教材18的对照．教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革”课题组在20世纪90年代提出了设想，并在1998年10月教育部“数学教育研讨班”（香山会议）上正式公布了方案，把数学实验作为理科非数学专业高等数学课程的一部分．理科可以，文科呢？20世纪80年代后期，南开大学曾自编过文科数学讲义，1995年、1999年分别出版过两种文科数学教材．根据多年来教学实践，同时吸取许多兄弟院校的经验，对原有教材进行修改和补充后，在教育部现代远程教育资源建设委员会和高等教育出版社的支持下，制作了《文科数学基础网络课程》，2003年8月由陈吉象先生主编的教材11就是该网络课件的配套文字教材．内容有离散的线性代数、连续的微积分、随机的概率与数理统计，然后是逻辑初步，最后用数学实验作为结尾．在此教材的基础上，经过多年的教学实践，2009年11月由戴瑛先生主编的《文科数学基础》第二版面世，即为教材18．经过压缩与删添，全书分为5章，第0章是仅有三页的“数学与人文社会科学”，第一章“微积分”，第二章“线性代数”，第三章是“概率统计”，第四章“逻辑初步”，第五章“数学软件Mathematica简介”．它与第一版的区别在于：首先，内容压缩——原来带星号的内容全部删除，还将第五章作为选学内容；其次，内容调整——将“微积分”与“线性代数”两章交换次序，将线性代数中“行列式”与“矩阵”交换次序；再次，内容改变——原版的第五章是“数学实验”，介绍Mathematica软件应用及差分方程与分形等内容，新版的第五章只介绍Mathematica软件及其应用；最后，内容增加——主要增加了数学文化，如增加了第0章“数学与人文社会科学”、在第一章微积分中增加了一节“国际数学组织及数学问题简介”、在极限一节中增加了“极限思想的历史渊源”．通过对比可以发现，新旧版本的不同大多体现在减少一些较为复杂的数学知识或者增加一些数学文化这两个方面．

1.4相关前沿知识的使用

社会在持续发展，科学在不断进步，对微积分的研究也不断有新成果的出现，而大部分教材中都没有体现出对新成果的任何关注．唯有教材8在这方面先人一步，使用了微积分改革的前沿知识，它是于2002年12月由林群先生主编的《大学文科数学》一书．林先生近十几年都致力于微积分内容的简化改革，独辟蹊径地用求山高的一张图将微分与积分的关系呈现出来．该教材将此思想融入，第一章是“用初中知识导出微积分思想”，在这18页内容中，以“树有多高”引出直角三角形求高问题，继续深入，以“过山车爬高”引入曲边三角形求高问题，经过分析给出微积分的思想方法，为微积分画像：“微分——一个直边三角形求高；积分——近似于一串直边三角形，再加在一起；微积分基本公式——加起来的最终结果等于曲边总高．”这样将大学微积分当做中学三角测量的自然延续或必然产物．微积分实际上是无数次三角测量之和．这种将大学的新知识（曲边三角形求高）建筑在无数个中学旧知识（直角三角形求高）之上的方法才是认识新事物的可靠方法．

1.5数学文化渗透方式的差异

既然是针对文科生，数学文化的渗透是必不可少的，但是，不同教材的渗透方式与渗透程度是不同的，可将其分为3类．第一类：数学文化缺乏型．如教材1、教材5、教材11、教材14，它们几乎没有含有数学文化方面的内容．第二类：数学文化罗列型．大部分教材都是将数学史实或数学家生平罗列成块，只是摆放的位置有所不同而已．如教材2、教材3、教材4、教材7、教材8、教材10、教材15、教材21、教材23，它们是在每章内容的后面附设了数学文化专题；如教材9与教材13，它们仅是在开篇第一章给出“数学概论（观）”；如教材12，在每章开头有相应的数学史介绍，有些章节在中间穿插小段数学史介绍；如教材17，在每部分开头有相关数学史介绍；如教材18，第0章是“数学与人文社会科学”、在第一章微积分中有一节“国际数学组织及数学问题简介”、在极限一节中有“极限思想的历史渊源”；如教材19，在每章首页的脚注中添加了数学家简介；除此之外，还在文中穿插了一点简介，如在函数定义部分中例1下方有函数发展史简介；在函数的微分部分，定义后有微商符号的来历．第三类：数学文化与教学内容融合型．中国古典园林中小园包大园的数学原理及其折射出来的哲学思想”，介绍了苏州古典园林的线性结构分析、以有限的面积造无限的空间、造园意境、东西方园林艺术的主要差异．再如第四章第五节“傅里叶级数的应用举例”中介绍了天鹅湖舞曲与傅里叶谐波的联系．第五章第一节“简单的微分方程及求解”中介绍了用阻滞模型模拟历届奥运会男子撑杆跳高冠军纪录及预测．教材22中，其数学文化渗透到具体内容之中．如在“函数的概念”处，写道，“一条几何曲线可以用某个函数来表示，这是在笛卡尔（法国数学家，1596—1650）创立直角坐标系以后的事情．也正是笛卡尔，将代数和几何结合在一起，建立了解析几何．代数（公式）和几何（图形）的相互转化，极大地促进了数学的发展，同时也大大增加了数学的应用性．在这之前，代数和几何是两码事，没有代数帮忙的欧氏几何（中学称为平面几何），大家都已经领教过它的困难！直角坐标系的建立是近代数学的起点，为微积分的创立打下了基础．”文字右边附有勒奈•笛卡尔（ReneDescartes）的图片．又如，在“函数的基本性质”处，介绍“有界与无界”的定义后面增加了“欣赏：宋朝叶绍翁《游园不值》中的诗句‘春色满园关不住，一枝红杏出墙来’从文字的意境表达了无界的含义：再大的园子（闭区间）也无法将所有的春色（函数值）关住，总有一枝红杏（某个函数值）跑到园子的外面．诗的比喻如此恰当，其意境把枯燥的数学语言形象化了”．再如，在第二章第二节“数列极限的数学定义”的最后，写道“庄子《天下篇》说‘吾生也有涯，而知也无涯．以有涯随无涯，殆已’．庄子有些颓废，人的一生虽然不能穷尽所有的知识，但是人的创造性思维，却能跨越无限，用可以操作的有限来表达无限．极限这一定义，是在牛顿——莱布尼茨发现微积分后的200年经过很多数学家不断完善、总结得到的．正是其严格的数学化表示，奠定了微积分发展的基础”．在“介值性定理”与其例题之间插入“欣赏”内容，包含峨眉山见佛光、抽屉原理、临床实验与贾岛的《寻隐者不遇》古诗联系“存在性”．在“导数概念”处，先给出导数的常规定义，后以例题中的形式给出牛顿在《求积术》一文中关于导数的计算方法，并与定义进行比较，引出“第二次数学危机”的简单介绍．在微分定义后插入“欣赏：无穷小量的故事”，介绍了法国数学家费马运用无穷小量得到令人惊奇的正确结论的过程．

1.6计算机科技融入的差异

如今的时代是“.com”的时代，计算机已经成为生活中不可缺少的一部分了．那么教材中是否要渗透计算机知识，如何渗透呢？大部分的教材对此没有做出任何反应，教材20却进行了积极的探索．与传统教材不同，该教材更多地以数值、图形及数学实验的表现形式表达大学数学的基本概念和方法，适应了文科生富于感知的特点，也有利于知识的理解和应用．在内容上侧重文科专业的需要，编入了人文、社科、经管等方面的诸多实例．以数学软件Maple13为平台，设计了数学实验，使高等数学的学习成为感受、实践和体验的过程．全书包括一元函数微积分学、级数和微分方程，简单讲述了线性代数与概率统计初步．书中部分章节编入了作者的建模研究案例．全书侧重于应用，侧重于与计算机的结合使用．每章末附有Maple实验，共计7个实验，例如第二章“导数及其应用”末附设的实验是“导函数计算及图示、曲线分析、微分中值定理及其应用”，第五章“微分方程简介”末附设的实验是“欧拉方法”，第七章“概率统计初步”末附设的实验是“排列组合与事件的概率的计算方法；平均值、中值、方差和标准差的计算方法；常用的几种分布的概率值求法；对统计数据作图的方法”．除此之外，章节中也有相应的渗入，以第一章函数为例，第一节“函数”，包含概念、性质、初等函数、常见线性函数与指数函数、数学建模——建立近似的函数关系．其中数学建模部分，包含线性函数模型、回归曲线、利用回归曲线作预测、回归直线的斜率、用回归方法计算最佳拟合的含义、非线性关系时的回归曲线，共计长达4页的简介．再如第三章第二节“积分的基本性质及计算”中介绍了矩形法与梯形公式等数值积分法来进行定积分的近似计算．教材中有些安排比较独特，如第一章第二节“逼近、极限与连续”中包含极限的定义和性质、函数的连续性、常数项级数简介及应用．这里很少见地安排了常数项级数内容，介绍了常数项级数的定义与和，用部分和的极限来求和，并给出复利与年金两个经济学中的例子．3.8课后习题差异大部分教材课后习题均为计算题，也有的含有填空题，还有的含有思考题．按照题型的不同分为以下几类．第一类是仅含有计算题：以教材5为例，在“导数和不定积分的计算”一节后，列有79道计算习题；第二类是还含有填空题：以教材8为例，每节内容后面都分为“边读边练”与“练习题”两种，其中“边读边练”基本为填空题、“练习题”大多为计算题与证明题；第三类是还含有思考题：以教材2为例，课后共有两部分，一是计算证明题，二是思考题．如“导数与微分”一章后附有两个思考题，一是“变量变化率——导数的数学模型是怎样的？简述求导数过程中的辩证法”，二是“什么是第二次数学危机？它对你有何启示？”第四类是还含有实验题：以教材11为例，每节内容后面都有练习题、思考题或实验题．如“参数估计”一节后面，习题3.7.2是“设总体X~B(m,p)，(,,,)12nXXX是从总体中抽取的一个样本，求未知参数p的矩估计量”；思考题3.7.20是“矩估计是否有唯一性？请举例说明”；实验题3.7.23是“随机从班中抽取n名同学（n≥50），测得他们的身高，得到样本数据，根据样本数据，对于给定的置信度，计算全班平均身高的置信区间”．

2思考与建议

2.1中学与大学衔接

文科生的基础薄弱，对数学没有足够的兴趣和信心，这是不争的事实．在教材中如能顾及到文科生的基础，在进入高等知识之前，先给出相应的中学知识的概略内容，就相当于帮助文科生设立了一个个台阶，帮助其从已知到未知一步一步由浅入深地走入高等知识的殿堂！除了中学内容的复习概略之外，将知识进行层次化、阶梯化教学也是相当好的方法．如微积分部分，张景中院士与林群院士一直致力于将微积分的内容简单化、直接化，更利于学生的理解和接受．如能将这些前沿思想方法合理地引入，将有助于为微积分输入新鲜血液；同时，比较新旧发展思路，也有利于学生对微积分本质的加深理解．

2.2教材内容的设定

如今教材虽然很多，但有些存在针对性不足的问题．既然针对的是同样的大学文科生群体，首先，建议统一名称，以正视听；其次，建议统一内容，至少针对相同的专业要统一内容，否则各种教材内容呈现的多姿多彩，只会让一线教师们无所适从；最后，在进行教学试验之后选择最优的顺序，将内容的安排方式统一化．将教材内容设定标准化、规范化、一致化，这需要数学家与教育家的共同磋商探讨．

2.3数学文化的渗透

数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面，文科教材中究竟应该渗透哪些数学文化，是数学史实，还是数学家生平，还是数学思想的应用？以什么样的方式渗透？这是需要细细研究的问题，但至少方向性是确定的，那就是数学文化的渗透应该是整体性的而不是点缀的、有机的而不是附着的、恰如其分的而不是铺天盖地的、水到渠成的而不是牵强附会的、画龙点睛的而不是长篇大论的．数学文化与数学知识，不应是“两层皮”的分离关系，而应是“一体化”的融入关系．如果把数学知识比作“水”，数学文化比作“乳”，则应尽可能做到水乳交融．

2.4计算机科技的融入

常见的教学中对科技的使用大多体现在使用多媒体课件来取代板书上，适当的使用的确可以提高学生的学习兴趣．除此之外，在教材内容中也可以适当融入．如Hughes-Hallett版本

的Calculus中，以Maple等数学软件为工具，采用了更多的图形演示和数值表现，使得原来抽象的概念变得更加直观，因而更便于理解．可见，只要融入恰当，计算机科技也可以成为教学内容的一部分，这样既可以帮助学生直观地、数值地、图像地学习数学，又与现代科技应用接轨，与时代共同进步．

2.5课后习题的设置

常见的教材中，课后习题大多为计算题，只是要求学生带公式来计算，起到加强训练巩固知识的作用．其实，课后习题也可以根据文科生的特点来设置．以史迪沃特版本的《微积分》为例，它的课后习题还包括“课外读写”．如第二章第八节“导数”后的课外读写中列出了4个参考文献，要求学生根据自己的阅读写一份读书报告，对费马或巴罗方法和现代方法进行比较；又如，第四章第四节“不定型求导与洛必达法则”后面的课外读写中列出了4个参考文献，要求学生写一份关于洛必达法则的历史和数学起源的报告，要求介绍洛必达与伯努利的详细简历，叙述他们之间的商业来往，然后写出洛必达自己对法则的描述．这样的作业似乎更适合文科生的特征，让他们通过查阅资料来分析问题解决问题．

作者：李红玲顾江永吴耀强单位：宿迁学院教师教育系