高等数学在经济学中的应用探讨

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摘要：高等数学是高等院校经济、管理类一门很重要的基础课程，它虽然是一门理论学科，但在经济学、管理学、物理学、生物学、工学等诸多领域都有着广泛的应用。本文主要探讨高等数学在经济学方面的应用，介绍最小二乘法、积分、微分方程等三个方面在经济学中的应用，并给出具体实例加以说明。

关键词：高等数学；理论；经济；应用。

0引言

高等数学是高等院校经济、管理类学生必修的一门基础理论课。该课程主要是为后续专业课程学习提供必备的数学知识，但这门课在教学过程中往往过于注重讲授理论知识，忽略了其应用性。另外，由于当前高等院校招生规模扩大，生源质量总体下降，无故旷课、迟到、作业抄袭等现象普遍存在，学生认为学习这门课没有用，学习积极性不高，即使考题很简单，考试通过率也不高，达不到预期效果。为了改善当前学生学习的状态、提高学生学习兴趣，我们在教学中有意识地穿插一些与经济学专业相关的知识，强调其应用性。下面主要探讨高等数学在经济类专业中的应用。

1最小二乘法在经济学中的应用

在自然科学和经济活动中进行定量分析的时候，根据实验所得到的一系列数据，建立各个量之间的关系是非常必要的。由于实际问题中的函数关系较为复杂，找出变量间的关系较为困难，我们尽可能找与实际情况相近的表达式，比较常用的方法就是最小二乘法。例1，为了做好商品的短期市场需求预测，需要建立起销售量对价格的依赖关系。已知该商品1月至6月的销售记录如表1。试根据以上资料，建立该商品的月销售量与价格的经验公式，并估算4月份的销售量是多少？解：将以上数据进行分析，变量x和y之间近似为线性关系，设所求经验公式为：y=ax+b根据以上数据计算可得：5i=1Σxi=0.9+1.0+1.1+1.0+0.8=4.85i=1Σx2i=0.92+1.02+1.12+1.02+0.82=4.665i=1Σyi=1600+1200+1000+1300+1800=69005i=1Σxiyi=1600×0.9+1200×1.0+1000×1.1+1300×1.0+1800×1.8=6480代入方程组，得：4.66a+4.8b=64804.8a+5b=690Σ0解之得a≈-571.4，b≈1928.5则所求经验公式为y=-571.4+1928.5由经验公式可估算出4月份的销售量大约为y=-571.4×1.0+1928.5=1357.1千克。

2积分在经济学中的应用

积分在经济学中应用比较广泛，下面通过两个例子来具体说明高等数学在经济学中的应用。例2：设某产品边际成本为C'（q）=10+0.02q边际收益为R'（q）=15-0.01q（C和R的单位均为万元，产量q的单位为百台），试求产量由15单位增加到18单位时，总成本、总收益、总利润的增量。解：当产量由15单位增加到18单位时的总成本增量为（万元）：ΔC=1815乙C'（q）dq=1815乙（10+0.02q）dq=29.01（万元）这时，总收益的增量为：ΔR=1815乙R'（q）dq=1815乙（15-0.01q）dq=44.505（万元）因此，总利润的增量为：ΔL=44.505-29.01=15.495（万元）例3：已知一个企业每月的边际收入与边际成本是日产量x的函数，r（x）=104-8x，C'（x）=x2-8x+40，如果日固定成本为250元，求：①日总利润函数L（x）；②日获利最大时的产量。解：①日总收入函数为：R（x）=x0乙r（t）dt=x0乙（104-8t）dt=104x-4x2因为日固定成本为250元，即C（0）=0，所以日总成本函数为：C（x）=[C（x）-C（0）]+C（0）=x0乙C'（t）dt+C（0）=x0乙（t2-8t+40）dt+250=13x3-4x2+40x+250则日总利润函数为：L（x）=R（x）-C（x）=104x-4x2-（13x3-4x2+40x+250）=-13x3+64x-250②日获利最大时的产量，即为利润函数的最大值点，令：L'（x）=64-x2=0得在（0，+∞）内唯一驻点x=8；又L''（x）=-2x|x=8<0因此当x=8时，L（x）有极大值，也是最大值，所以日获利最大时的产量为8个单位。

3微分方程在经济学中的应用

微分方程在高等数学占有很重要的地位，在许多实际问题中，表达量与量之间依赖关系和变化规律的函数往往不能直接得到，根据问题的实际意义及所给的条件，可以建立相应的微分方程模型。下面我们将介绍微分方程在经济学中的应用。例4：在宏观经济研究中，发现某地区国民收入y、国民储蓄x和投资I是时间t的函数，若在t时刻，储蓄额是国民收入的110，投资额是国民收入增长率的13，当时间t=0时，国民收入为4亿元，试求国民收入函数y=y（t）。（假定t时刻储蓄全部用于投资）解：由题意知t时刻时，s=110y，I=13dydt可得：y10=13dydt分离变量可得：dyy=0.3dt两边同时积分可得方程通解为：y=Ce0.3t因为，当t=0时，y=4，可得C=4，故该方程的特解为y=4e0.3t。例5：某养猪场由于场地原因最多能养猪5000头，设在t时刻养猪场内猪的头数y与时间t有函数关系式y=y（t），其变化率与猪的头数y及时间t的乘积成正比，比例系数为k（k>0），已知养猪场里现有猪500头，3个月后养猪场里有猪700头，求养猪场内猪的头数y与时间t的关系式y=y（t），5个月后养猪场大约有猪多少头？解：由题意可知：dydt=kyt分离变量可得：dyy=ktdt两边同时积分可得：lny=12kt2+c1，即y=ce12kt2，又因为y（0）=500，y（3）=700可得：c=500，k=29ln75则y=500e19ln75t2，y（5）≈1480头。

4总结

总之，通过以上所举例子可发现高等数学在经济学上应用广泛、高等数学与经济学是互相融合的、高等数学是经济学的有力工具，所以在教学中要注重理论实际相结合，介绍一些相关的经济数学模型，从而使得理论知识没有脱离实际，让学生能够学有所用。

参考文献：

[1]李天胜.经济数学基础[M].成都：电子科技大学出版社，2008.

[2]宋冬梅，王艳霞.浅议高等数学理论在经济管理中的应用[J].文化建设，2008.

[3]朱小飞.高等数学在经济学中的应用[J].科教文汇，2015（3）.

[4]鞠淑范.高等数学在经济中的应用[J].价值工程，2012（27）.•171•

作者:梁林 单位:安徽农业大学经济技术学院