用课程基地资源进行高中数学教学实践

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摘要：“数字化高中数学课程基地”的建成，为数学实验提供了条件。为发挥课程基地的价值与功能，应用“课程基地”资源，需从不同层面的体验、先实验后概括、呈现隐蔽关系、模拟体验确定性对不确定性的制约、展示不同情境中的同一结构、在活动中“算玩结合”等方面进行高中数学教学的实践探索。通过应用基地资源进行高中数学教学，改变了以往高中数学过于注重讲授的倾向。完善基地资源建设需从在动态与开放中运行、做好整体构建等方面加以努力。

关键词：课程基地；资源；高中数学；体验；整体构建

《数学课程标准》指出：“数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索、阅读感悟与合作交流等都是数学学习的重要方式。要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力支持开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习和解决问题的强有力工具。”［1］但在现实的数学课堂教学中，我们虽然也做过一些数学实验，由于条件、认识与应试的影响，没有认真规划与设计，做得不多、不实，大多是应景行为，没有达到应有的目的。我校“数字化高中数学课程基地”建成后，为应用“课程基地”资源进行高中数学教学提供了很好的条件。

一、“数字化高中数学课程基地”建设内容

我校“数字化高中数学课程基地”被江苏省教育厅确定为2013年“普通高中课程基地建设项目”后，就在已往思考的基地上，积极开展了硬软件平台、数字化数学学习中心建设。1．硬软件平台首先对学校已有的硬件设施进行了提档升级，增建配套的录播教室一间。建设了支撑课程基地的软件学习平台：建立了一个基于Web的能支持和管理教学过程、提供共享学习资源和各种学习工具的数字化学习环境，为学习者在进行数字化学习时提供支撑与服务。建立课程基地主题网站，网站建设指派电教中心专人负责，对课程基地的建设进行宣传推广、成果、活动介绍。学习平台建设突出互动性，让师生能即时、顺畅交流。2．数字化数学学习中心数字化数学学习中心建设了数学应用体验馆、数学趣味体验馆、数学阅读体验馆。（1）数学应用体验馆。馆中有TI图形计算器、平板电脑、高中完全版立体几何模型、3D打印机、TI无线网络版交互系统、TI教师备课软件、学生版对应软件等。通过图形计算器作图、多媒体演示、（成品或制作）模型呈现等方式，进行情景模拟、互动场景设置，让学生深刻体验数学的魅力，改变学习方式，提高动手能力；开设数学探究实验，变“学”为“做”，调动学生学习数学的积极性，促进教师教学方式的转变。（2）数学趣味体验馆。馆中有科技模型、玩具模型、多媒体游戏等趣味资源180多套，还有近千本（套）数学趣味书籍（图片）。在运行中不断收集增添古今数学故事、生活中趣味数学、数学游戏、数学谜语、数学对联等等，根据财力不断增添一些趣味模型资源。在数学综合实践课或数学社团活动中，让学生从故事展示、图片欣赏、多媒体游戏演示、玩具操作中体验趣味数学。（3）数学阅读体验馆。馆中有高中数学阅读课程校本教材、高中数学竞赛相关书籍、数学专著、全部的高中生数学杂志、数字化高中数学阅读资源平台。由于师生基础和体验不同，教师教学中的引入、讲座中的介绍一定加入了教师的理解，这个视角不一定适合学生。在数学阅读体验馆中学生可以阅读相关知识的原文，从原创中寻找自己的东西，自我体验、理解，引导学生寻找适合自己的路子。

二、应用“课程基地”资源进行高中数学教学的实践探索

“高中生的抽象思维能力虽然达到了一定水平，但对于一些数学概念的理解、数学创新能力的培养，形象思维在学习过程中仍起着不可替代的作用。”［2］“数字化高中数学课程基地”的建成，为进行数学实验提供了条件，必须重新认识和组织高中数学教学。

1．不同层面的体验在学习立体几何时，由于体验经历、心理表征和知识水准等不同，有的学生只要教师作图讲解就能掌握，而有的学生要通过动画模拟或者模型体验才能掌握。问题1：棱长为a的正四面体的一面与各条棱都为a的正四棱锥一个侧面叠合构成的几何体是几面体？在练习中给出这个问题，学生大多数答案是七面体，当教师给出的答案是五面体时，许多学生表示惊讶。按照过去方法进行处理，即作图讲解：按照条件作出组合几何体后，语言解释“叠合后正四面体的两个面分别和正四棱锥的两个面在一个平面上（两个“三角形”面组合成一个“菱形”面）”，给出这个几何体是三棱柱（五面体）的结论。只有52％的学生表示接受结果，部分学生觉得不可能这么巧。在“数学应用体验馆”中通过动画模拟或模型体验进行教学，学生掌握的情况明显不同。动画模拟：制作将各棱长均为a的正四面体和正四棱锥在运动中叠合成三棱柱（五面体）动画。有89％的学生表示接受结果，有一些学生觉得叠合后，动画中两个三角面合成一个菱形面不平。模型实验：在立体几何全套模型找出已有成品模型一组，用两台3D打印机打印两组、用“木工实验室”工具让学生动手制作几组，然后让学生将模型组合后观察、触摸进行实验，学生都对结果表示接受。可进一步引导学生通过二面角大小（的余弦）的计算来说明。通过不同层面处理，学生有不同的体验，掌握的效果也不同。教师可以根据需要，进行不同层面的处理，帮助相应层次的学生进行学习。

2．先实验后概括有些数学知识和方法，依靠教师讲授，学生学得枯燥、做得无兴趣，而且不易掌握。采取先实验、后概括的方法进行处理有利于学生理解掌握。问题2：如何引导学生概括“数学归纳法”原理？若按照以前教学照本宣科地进行讲解，学生学得枯燥无味，对其实质也理解不透，以后学生证明时常有以下错误出现：不验证“n＝1命题成立”；不用“假设n＝k时命题成立”作为条件；由“n＝k命题成立推出n＝k＋1时命题成立”时，只写形式，不进行实质推导。而应用“数学趣味体验馆”中的“多米诺”骨牌进行操作实验，考虑：（1）当其中一块骨牌倒下，紧接着后面的一块怎么样？（2）要使所有骨牌倒下，只要第一块骨牌倒下是否就可以了？在热烈的气氛中学生得到实验结果后，引导学生概括出“数学归纳法”原理，帮助学生理解用“数学归纳法”证明：必须验证n＝1命题成立（第一块骨牌要倒下）；假设n＝k时命题成立（第k块可以倒，但现时倒与未倒状态未定），必用n＝k时命题成立作为条件，证明出n＝k＋1时命题成立（第k块骨牌倒下，第k＋1块骨牌必倒下）。后来调查发现，通过这样实验，学生能主动、有兴趣地学习抽象原理，也解决了我们教学中强调而没有效果的问题（如忘记验证n＝1成立、不用“假设n＝k时命题成立”作为条件等）。

3．呈现隐蔽关系对于函数图像、解析几何、数形结合问题，蕴含的对应联系、运动变化中隐蔽的关系，应用基地中的图形计算器、平板电脑、多媒体等准确地“特写”或动态呈现出来，引导或帮助学生思考。图1问题3：已知点D（0，3），M和N为椭圆C：x2／9＋y2／4＝1上两点，且→DM＝λ→DN，实数λ的取值范围是。用常规的解析几何处理方法很麻烦，有些学生类比圆的处理，直觉λ的取值范围为［1，5］，但是没有依据，对所得到的结论不踏实，往往不敢确定。而在“数学应用体验馆”中，学生可自己选择基地中图形计算器、平板电脑、多媒体等，将椭圆C拉伸成圆（如图1所示），“特写”拉伸时实数λ不变（联系线性变换知识），然后将问题放在圆的情景下处理，就容易得到λ的取值范围为［1，5］。应用“课程基地”资源，将一些传统教学中教师很难处理的抽象问题、暗箱问题等，转化成看得见、摸得着的动态图像或组合实体，可能很容易让学生理解掌握。

4．模拟体验确定性对不确定性的制约“了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别，要通过大量的实验。有了计算机的辅助，学生可以将大量重复的实验在计算机上实现———计算机模拟，将重复性的工作变得更加富有探究性和趣味性。”［3］应用“课程基地”资源进行数学教学，就可用计算机产生的随机数来模拟抽样、掷硬币试验、估计概率（包括用模拟方法进行几何概型的学习），用计算机、图形计算器画频率直方图、折线图等，用计算机对提取的数字特征进行计算与评价，进行相关性处理。帮助学生体验和认识“确定性对不确定性的制约”，真正理解统计与概率。

5．展示不同情境中的同一结构对同一个问题放在不同情境中展示，是设计问题的主要手段，也是有些看似简单的问题而学生经常出问题的原因。“只有经常变换课题的具体情境，在不同的情境中展现同一结构关系，学生才不会被具体情境所迷惑。”［4］应用“课程基地”资源进行数学教学，将同一个数学问题设计在不同情境中进行展示，让学生体验，寻找解决问题的突破点。问题4：△ABC为边长2的正三角形，∠AOB＝45°，求CO的最大值。将这个问题设计为多媒体“动画”，在以下两个情境中进行展示：［情境一］如图2所示，正三角形ABC边长为2，点A在x轴的正向移动，点B在45°角的终边上移动，展示C点的轨迹。［情境二］点O对边长2的正三角形ABC的边AB的视角为45°（即∠AOB＝图345°），移动点O，展示O点的轨迹。在情境一中，展现出C点的轨迹；而在情境二中，展现O点的轨迹。情境一中求出C点轨迹方程很困难，情境二中O点的轨迹是（以AB为斜边的等腰Rt△ABE的顶点E为圆心，EA为半径圆的）优弧AB（如图3所示），学生通过对两个情境的体验，就可以找到处理办法。

6．在活动中“算玩结合”动态的事物容易引起学生的注意。教学活动的过程是动态的，在活动的过程中，静态的数学知识会“动”起来，学生就能从动态中感受知识，并与自己的生活经验联系起来，为深刻理解知识找到固着点，掌握起来就容易多了。［5］应用课程基地资源，将活动过程充分呈现出来，学生先独立地体验感悟，教师再“以基地个性化体验读取学生最近发展区，通过“一对一、手把手”地指导，向着学生天分努力”［6］。问题5正方体展开图有多少种？在教室上课，师生更多的是用笔在纸上画画，教师至多用实体（也可能有个别学生将带来的正方体盒子“剪”开来）展示。作为综合实践课在课程基地中进行，可用多媒体动画、成品模型展示、（借用木工实验室中资源）制作模型展示。教师个性化指导、学生之间互相帮助，（除去重合的）排列出35种6个正方形拼成的平面图形（得出后为更清晰，教师可用PPT展示）。先判断哪些能做成正方体，哪些不能做正方体，再动手操作。在得出11种展开图后，师生总结规律。数学教学活动的过程得到全部呈现，切合新课标中倡导的操作、探索的学习方式，教学效果也好。

三、对应用“课程基地”资源进行高中数学教学的思考

我们虽然对数学理论十分重视，也意识到让学生体验过程的重要，但在实际数学教学中却是更多地关注数学知识和解题技巧，在取得一些成绩的同时，也影响了学生学习数学的兴趣。学生的天性是“玩”，即进行快乐的、生动的、创造的、思维的自主活动。只有这样，学生的学习之树才能长青。“玩”的主体是学生，教的主体是教师，教是我们的使命，“教”不能直接转化为学生的“玩”。但教可以转化为学生的学，学的主体也是学生，“学”有可能转化为“玩”。但在实践中，这个思路往往到“教”转为“学”就断了。［7］这就要求我们思考如何将“教”转化为“学”，再转化为“玩”，笔者试图通过“课程基地”资源的应用，将学进一步转化到“玩”。为发挥课程基地的价值与功能，在实践探索的基础上，必须对应用“课程基地”资源进行数学教学作出自己的思考。

1．在动态与开放中运行“课程基地”建设将根据课堂教学需要和财力情况进行增补，也努力与其他“课程基地”合作，充分利用其他社会资源，也提倡师生将“个人资源”放进基地共享。因此，基地的资源是动态与开放的，必须“扬弃传统、突破区域、立足课堂、提炼思想”，才能充分应用“基地”资源促进高中数学教学。（1）在应用中“扬弃”传统。设施现代、理念超前的课程基地不应是对传统的抛弃，新技术、新思想并不是突兀地出现，而是与传统有着千丝万缕的联系，理清发展过程中“扬弃”的脉络，会有助于知识的理解和观念的创新。如应用3D打印，并不抛弃通用技术选修课木工课中的手工制作。（2）让活动突破区域。在课程基地中的活动不应只局限在划定的区域，可用基地专题网站或借出资源让课程基地的活动延伸至校园、家庭和社会，争取上级组织的活动在基地中进行，多与兄弟学校交流，走出去、请进来，在更为广阔的天地中用“课程基地”资源进行数学实验活动。发挥应有的作用，提高研究与应用水平，多出成果、出好成果，并有意识地将校园、家庭和社会中活动的“成果”，添加到“课程基地”的资源中。（3）在运行中立足课堂。课程基地如果只是注重硬件，花高价进行装修、购置先进的仪器，不注重课堂的实效，就无法发挥应有的作用，注定会成为摆设。把工作重点放在“课程基地”资源建设与数学课堂教学的整合上，努力把高中数学核心内容融入基地的建设与运行中，优化课堂教学内容的呈现形式，构建自主学习平台，转变学习方式，提高数学学习的效能。（4）在思考中提炼思想。陶行之生活即教育思想对我们有极大的指导作用，但不能只是学习与引进，而应在对自己的生活与教育活动思考后，进行思想的概括、提炼，形成自己的数学教育思想：“在活动中寻求数学教育智慧、把数学教育过程变成有情趣的生活，把生活融入有意义的数学活动中。”

2．做好整体构建在课程基地规划与设计中，对数学教学所需的“资源”进行了摸底，争取纳入课程基地建设中。然后在基地活动中有意识将数学教学中所需的实践活动作为示范操作内容，引导数学教师在教学中有意识地用基地中的资源，探求处理问题的新方法；将数学教学中所需的实践活动作为实验作业，引导学生自主探索，找出处理数学学习中所遇到问题的方法。即：将“基地”资源与“数学教学”内容双方作为整体放在一个共通的系统中，构建相互开放与结合的体系，让对方成为自己的“资源”或自身的一部分进行教学和研究。几年来，通过应用“基地”资源进行高中数学教学，改变了以往我校高中数学教学过于注重讲授的倾向。教师形成了积极试验、主动研究的教学态势，数学教师在素质大赛中成绩突出、教研科研成果丰硕、省教学成果奖榜上有名，满足了教师和学校发展要求；学生形成了积极体验、主动探究的学习方式，数学竞赛成绩突出、自主招生和高考捷报频传、科技创新大赛名列前茅，满足了升学要求，又很好地实现了素质教育。

参考文献：

［1］教育部《基础教育课程》编辑部．中学新课标资源库（数学卷）［M］．北京：北京工业大学出版社，2004：4－5．

［2］胡述洪．浅谈高中数学实验的功能及应用［J］．中小学教学研究，2015（7）：24－25．

［3］数学课程标准研制组．数学课程标准解读［M］．南京：江苏教育出版社，2004：108．

［4］董培仁．利用木工课“资源”进行立体几何教学的实践与思考［J］．高中数学教与学，2014（10）：1－3．

［5］曾木英．基于“背景”的数学教学：让数学“活”起来［J］．中小学教学研究，2015（8）：20－22．

［6］马斌．课程基地领跑学习的革命：关于开创课程基地建设的探索与思考［J］．江苏教育（教育管理），2011（10）：46－50．

［7］郭思乐．改革核心：课程与教学的再造［J］．人民教育，2015（4）：21－26．

作者：董培仁 单位：江苏省盱眙中学